Διαφορετικοί τρόποι για να αποδείξει το Πυθαγόρειο Θεώρημα: Παραδείγματα, περιγραφή και σχόλια

Ένα πράγμα είναι σίγουρο εκατό τοις εκατό ότι το ερώτημα, το οποίο είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας, κάθε ενήλικας τόλμη να απαντήσει: «το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών» Το θεώρημα αυτό είναι σταθερά κολλημένη στο μυαλό του κάθε μορφωμένος άνθρωπος, αλλά απλά ζητήστε από κάποιον να το αποδείξει, και μπορεί να υπάρχουν δυσκολίες. Ως εκ τούτου, ας θυμηθούμε και να εξετάσει τρόπους για να αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Μια επισκόπηση της βιογραφίας

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι γνωστό σχεδόν σε όλους, αλλά για κάποιο λόγο, την ανθρώπινη ζωή, που έχει κάνει στο φως, δεν είναι τόσο δημοφιλές. Αυτό είναι επιδιορθώνεται. Ως εκ τούτου, πριν να διερευνήσει τους διαφορετικούς τρόπους για να αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα, θα πρέπει σύντομα σε επαφή με την προσωπικότητά του.

Πυθαγόρας - φιλόσοφος, μαθηματικός, φιλόσοφος αρχικά από την αρχαία Ελλάδα. Σήμερα είναι πολύ δύσκολο να διακρίνει κανείς τη βιογραφία του από τους μύθους που έχουν δημιουργηθεί στη μνήμη του μεγάλου αυτού άνδρα. Όμως, όπως προκύπτει από τα έργα των οπαδών του, Pifagor Samossky γεννήθηκε στο νησί της Σάμου. Ο πατέρας του ήταν λιθοξόος φυσιολογικό, αλλά η μητέρα του προερχόταν από οικογένεια ευγενών.

Σύμφωνα με το μύθο, η γέννηση του Πυθαγόρα προβλέψει γυναίκα με το όνομα Πυθία, προς τιμήν του οποίου και το όνομα το αγόρι. Σύμφωνα με την πρόβλεψη της γέννησης ενός αγοριού θα φέρει πολλά οφέλη και την καλοσύνη για την ανθρωπότητα. Αυτό, στην πραγματικότητα το έκανε.

Η γέννηση του θεωρήματος

Στα νιάτα του, ο Πυθαγόρας μετακινηθεί από τη Σάμο προς την Αίγυπτο για να συναντηθεί με τον αιγυπτιακό σοφοί γνωστή. Μετά τη συνάντηση μαζί τους, έγινε δεκτός στην εκπαίδευση, και ήξερε όπου όλα τα μεγάλα επιτεύγματα της αιγυπτιακής φιλοσοφίας, των μαθηματικών και της ιατρικής.

Ήταν πιθανότατα στην Αίγυπτο Πυθαγόρα εμπνευσμένο από το μεγαλείο και την ομορφιά των πυραμίδων και δημιούργησε μεγάλη θεωρία του. Μπορεί να σοκάρει τους αναγνώστες, αλλά οι σύγχρονοι ιστορικοί πιστεύουν ότι ο Πυθαγόρας δεν αποδείξει τη θεωρία του. Και μετέδωσε μόνο τις γνώσεις του από τους οπαδούς που αργότερα ολοκλήρωσε όλες τις απαραίτητες μαθηματικούς υπολογισμούς.

Ό, τι ήταν, είναι πλέον γνωστό περισσότερες από μία μέθοδο απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά πολλές. Σήμερα μπορεί μόνο να μαντέψει πώς οι Έλληνες έκαναν τους υπολογισμούς τους, έτσι υπάρχουν διαφορετικοί τρόποι για να εξετάσουμε την απόδειξη του Πυθαγόρειο θεώρημα.

Το θεώρημα του Πυθαγόρα

Πριν από την έναρξη κάθε υπολογισμό, θα πρέπει να μάθετε ποια θεωρία για να αποδείξει. Το πυθαγόρειο θεώρημα είναι: «Σε ένα τρίγωνο στο οποίο μία από τις γωνίες είναι ^{περίπου} 90, το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας.»

Συνολικά υπάρχουν 15 διαφορετικοί τρόποι για να αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα. Αυτό είναι ένα αρκετά υψηλό ποσοστό, έτσι ώστε να δώσουν προσοχή την πιο δημοφιλή από αυτά.

μέθοδος ένα

Πρώτον, δηλώνουν ότι μας δίνεται. Τα στοιχεία αυτά θα πρέπει να επεκταθεί και σε άλλες μεθόδους απόδειξης της Πυθαγόρειο θεώρημα, γι 'αυτό είναι σωστό να θυμόμαστε όλες τις υπάρχουσες ονομασίες.

Ας υποθέσουμε ότι δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με τα πόδια ένα, και υποτείνουσας ισούται με c. Η πρώτη μέθοδος βασίζεται σε στοιχεία που, εξαιτίας ενός ορθογωνίου τριγώνου που απαιτείται για να ολοκληρωθεί η πλατεία.

Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να μήκος των ποδιών ενός τμήματος ίσα για να ολοκληρωθεί ένα πόδι μέσα, και το αντίστροφο. Γι 'αυτό θα πρέπει να έχει δύο ίσες πλευρές του τετραγώνου. Μπορούμε να αντλήσουμε μόνο δύο παράλληλες γραμμές, και η πλατεία είναι έτοιμο.

Στο εσωτερικό, τα προκύπτοντα στοιχεία πρέπει να συντάξει ένα άλλο τετράγωνο με πλευρά ίση με την υποτείνουσα του αρχικού τριγώνου. Για το σκοπό αυτό, τις κορυφές του εναλλασσόμενου ρεύματος και η επικοινωνία είναι απαραίτητη για να επιστήσει δύο ίσα τμήματα με παράλληλες. Έτσι απόκτηση των τριών πλευρών ενός τετραγώνου, μία εκ των οποίων είναι η αρχική ορθογώνια τρίγωνα της υποτείνουσας. Docherty παραμένει μόνο η τέταρτη κατηγορία.

Με βάση το πρότυπο που προέκυψε μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι η εξωτερική περιοχή του τετραγώνου είναι ίσο με (α + β) ^2. Αν εξετάσουμε τα στοιχεία, μπορείτε να δείτε ότι εκτός από το εσωτερικό τετράγωνο έχει τέσσερις ορθογώνια τρίγωνα. Η περιοχή του καθενός είναι 0,5av.

Ως εκ τούτου, η περιοχή είναι ίση με: 4 * 0,5av + c ² = α ² + 2AV

Ως εκ τούτου, (α + β) ² = c ² + 2AV

Και ως εκ τούτου, με ² = a ² + ²

Αυτό αποδεικνύει το θεώρημα.

Μέθοδος δύο: παρόμοια τρίγωνα

Αυτή η φόρμουλα είναι η απόδειξη του πυθαγόρειου θεωρήματος προέκυψε με βάση την έγκριση της γεωμετρίας τμήματος από αυτά τα τρίγωνα. Αναφέρει ότι τα πόδια ενός ορθογωνίου τριγώνου - η μέση ανάλογη με υποτείνουσα του και το μήκος της υποτείνουσας, που προέρχονται από την κορυφή ^90.

Τα αρχικά στοιχεία είναι τα ίδια, γι 'αυτό ας ξεκινήσουμε αμέσως με την απόδειξη. Σχεδιάστε κάθετα προς την πλευρά του τμήματος ΑΒ CD. Με βάση τα ανωτέρω έγκριση πόδια των τριγώνων είναι ίσες:

AC = √AV * μ.Χ., CB = √AV * DV.

Για να απαντήσουμε στο ερώτημα για το πώς να αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα, η απόδειξη θα πρέπει να δρομολογούνται από τον τετραγωνισμό δύο ανισότητες.

AC ² = ΑΒ * Η BP και η CB ² = ΑΒ * DV

Τώρα θα πρέπει να προσθέσετε έως και την προκύπτουσα ανισότητα.

AU ^{2 2} + CB = AB * (ΒΡ * ET) όπου BP = ΑΒ + ET

Αποδεικνύεται ότι:

AC ² + ² = CB ΑΒ * AB

Και ως εκ τούτου:

AU ^{2 2} + CB = AB ²

Η απόδειξη της Πυθαγόρειο Θεώρημα και οι διαφορετικοί τρόποι επίλυσής του πρέπει να είναι πολύπλευρη προσέγγιση στο πρόβλημα αυτό. Ωστόσο, η επιλογή αυτή είναι ένα από τα απλούστερα.

Μια άλλη μέθοδος υπολογισμού

Περιγραφή διαφορετικούς τρόπους για να αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να είναι τίποτα να πω, εφ 'όσον οι περισσότεροι δεν θεωρούν τους εαυτούς έχουν αρχίσει να ασκούν. Πολλές από τις τεχνικές περιλαμβάνουν όχι μόνο τα μαθηματικά, αλλά και την κατασκευή του αρχικού τριγώνου νέα στοιχεία.

Σε αυτή την περίπτωση, είναι αναγκαίο να τελειώσει το πόδι π.Χ. άλλου ορθογωνίου τριγώνου της ΔΕΑ. Μέχρι τώρα υπάρχουν δύο τρίγωνα με το πόδι κοινή Ήλιο

Γνωρίζοντας ότι οι περιοχές των παρόμοιων στοιχεία έχουν αναλογία ως τετραγώνων των παρόμοιων γραμμικών διαστάσεων τους, τότε:

S _ABC * ² - S ² * _ΗΡΑ = S * και _AVD ² - S ² * α _VSD

_Abc * S ⁽² -c ²⁾ = a ² * (S _AVD -S _VVD)

-να ^{2 2} = α ²

² = α ² + ²

Λόγω των διαφορετικών μεθόδων απόδειξης της Πυθαγόρειο θεώρημα με βαθμό 8, η επιλογή αυτή δεν είναι καθόλου κατάλληλα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη διαδικασία.

Ο ευκολότερος τρόπος για να αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα. Κριτικές

Θεωρείται από τους ιστορικούς, η μέθοδος αυτή χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά για την απόδειξη του θεωρήματος στην αρχαία Ελλάδα. Είναι το πιο εύκολο και δεν απαιτεί καμία απολύτως πληρωμής. Αν σχεδιάσετε μια εικόνα σωστά, η απόδειξη του ισχυρισμού ότι ένα ² + ² = c ^2, θα φανεί καθαρά.

Όροι και προϋποθέσεις για τη διαδικασία αυτή θα είναι ελαφρώς διαφορετική από την προηγούμενη. Για να αποδείξει το θεώρημα, ας υποθέσουμε ότι το ορθογώνιο τρίγωνο ABC - ισοσκελές.

Υποτείνουσα AC αναλάβει την κατεύθυνση της πλατείας και docherchivaem τρεις πλευρές του. Εκτός αυτού, είναι απαραίτητο να περάσουν δύο διαγώνιες γραμμές να σχηματίζουν ένα τετράγωνο. Έτσι, για να πάρει τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα μέσα σε αυτό.

Με Catete ΑΒ και CD όπως απαιτείται Docherty στην πλατεία και κρατήστε σε μια διαγώνια γραμμή σε κάθε ένα από αυτά. Σχεδιάστε μια γραμμή από την πρώτη κορυφή Α, ένα δεύτερο - από C.

Τώρα πρέπει να λάβει μια στενή ματιά στην εικόνα που προκύπτει. Όπως υποτείνουσας AC είναι τέσσερα τρίγωνα ίσα με το πρωτότυπο, αλλά σε Catete δύο, μιλάει για την ακρίβεια αυτού του θεωρήματος.

Με την ευκαιρία, χάρη σε αυτή την τεχνική, την απόδειξη της Πυθαγόρειο θεώρημα, και γεννήθηκε η περίφημη φράση: «Πυθαγόρεια παντελόνι σε όλες τις κατευθύνσεις είναι ίσοι»

J. Απόδειξη. Garfield

Dzheyms Garfild - ο εικοστός πρόεδρος των Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής. Επιπλέον, έχει αφήσει το σημάδι του στην ιστορία ως ο κυβερνήτης των Ηνωμένων Πολιτειών, ήταν επίσης ένας ταλαντούχος αυτοδίδακτος.

Στην αρχή της καριέρας του, ήταν τακτικός καθηγητής στο λαϊκό σχολείο, αλλά σύντομα έγινε ο διευθυντής ενός από τα ιδρύματα της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης. Η επιθυμία για προσωπική ανάπτυξη και του έδωσε τη δυνατότητα να προτείνει μια νέα θεωρία για την απόδειξη του θεωρήματος του Πυθαγόρα. Θεώρημα και ένα παράδειγμα διαλύματος της είναι ως ακολούθως.

Πρώτον, είναι απαραίτητο να ανατρέξει στο χαρτί δύο ορθογώνια τρίγωνο έτσι ώστε το ένα σκέλος του οποίου ήταν μια συνέχεια του τελευταίου. Οι κορυφές από αυτά τα τρίγωνα θα πρέπει να συνδεθεί με καταλήξετε να πάρει ένα τραπέζιο.

Όπως είναι γνωστό, το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίση με το γινόμενο του μισού αθροίσματος της βάσης του και το ύψος.

S = a + b / 2 * (α + β)

Αν λάβουμε υπόψη το προκύπτον τραπεζοειδές, ως φιγούρα που αποτελείται από τρία τρίγωνα, περιοχή μπορεί να βρεθεί ως εξής:

S = aw / 2 * 2 + ^2/2

Τώρα είναι απαραίτητο να εξισώσει τα δύο πρωτότυπα έκφρασης

2AV / 2 + c / 2 = (α + β) ^2/2

² = α ² + ²

Σχετικά με τον Πυθαγόρα και πώς να αποδείξει ότι δεν μπορεί να γράψει ένα μόνο βιβλίο όγκο. Αλλά έχει νόημα όταν η γνώση δεν μπορεί να εφαρμοστεί στην πράξη;

Πρακτική εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος

Δυστυχώς, στο σύγχρονο σχολικό πρόγραμμα προβλέπει τη χρήση αυτού του θεωρήματος μόνο σε γεωμετρικά προβλήματα. Οι απόφοιτοι θα αφήσει σύντομα το σχολείο τοίχους, και δεν ξέρει, και πώς μπορούν να εφαρμόσουν τις γνώσεις και τις δεξιότητές τους στην πράξη.

Στην πραγματικότητα, για να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα στην καθημερινή τους ζωή μπορεί η κάθε μία. Και όχι μόνο στην επαγγελματική δραστηριότητα, αλλά και σε απλούς δουλειές του σπιτιού. Εξετάστε μερικές περιπτώσεις όπου το Πυθαγόρειο θεώρημα και πώς να αποδείξει ότι μπορεί να είναι εξαιρετικά απαραίτητη.

θεωρήματα της επικοινωνίας και της αστρονομίας

Φαίνεται ότι μπορούν να συνδεθούν με τα αστέρια και τρίγωνα στο χαρτί. Στην πραγματικότητα, αστρονομία - μια επιστημονική περιοχή στην οποία χρησιμοποιείται ευρέως το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε την κίνηση της δέσμης φωτός στο χώρο. Είναι γνωστό ότι το φως ταξιδεύει προς τις δύο κατευθύνσεις με την ίδια ταχύτητα. AB τροχιά, η οποία κινεί την δέσμη φωτός ονομάζεται l. Και το ήμισυ ο χρόνος που απαιτείται για το φως να φτάσει από το σημείο Α στο σημείο Β, καλούμε t. Και η ταχύτητα της δέσμης - c. Αποδεικνύεται ότι: c * t = l

Αν κοιτάξετε την ίδια ακτίνα ενός άλλου επιπέδου, για παράδειγμα, ένα διαστημικό σκάφος, το οποίο κινείται με ταχύτητα v, στη συνέχεια, στο πλαίσιο αυτών των φορέων εποπτείας θα αλλάξει την ταχύτητά τους. Ωστόσο, ακόμη και οι σταθερά στοιχεία θα μετακινηθούν με ταχύτητα v προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Ας υποθέσουμε κόμικ επένδυση πλωτό σωστά. Στη συνέχεια, τα σημεία Α και Β, η οποία σχίζεται μεταξύ της δέσμης θα κινηθεί προς τα αριστερά. Επιπλέον, όταν η δέσμη κινείται από το σημείο Α στο σημείο Β, σημείο Α καιρός να προχωρήσουμε, και, κατά συνέπεια, το φως έχει έρθει σε ένα νέο σημείο C. Για να βρείτε τη μισή απόσταση στην οποία το σημείο Α έχει μετακινηθεί, είναι αναγκαίο να πολλαπλασιάσει την ταχύτητα του πλοίου στο μισό χρόνο ταξιδιού δοκού (t «).

d = t «* ν

Και για να βρείτε πόσο μακριά σε αυτό το διάστημα ήταν σε θέση να περάσει μια δέσμη φωτός που χρειάζεται για να σηματοδοτήσει το σημείο στα μισά του δρόμου της νέας οξιάς s και την ακόλουθη έκφραση:

s = c t * '

Αν φανταστούμε ότι το σημείο του φωτός C και Β, καθώς και το διαστημικό σκάφος - είναι η κορυφή ενός ισοσκελούς τριγώνου, το τμήμα από το σημείο Α στο σκάφος της γραμμής θα χωριστεί σε δύο ορθογώνια τρίγωνα. Ως εκ τούτου, χάρη στο Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να βρει την απόσταση που ήταν σε θέση να περάσει μια δέσμη φωτός.

s = l ^{2 2} + d ²

Αυτό το παράδειγμα είναι, φυσικά, δεν είναι το καλύτερο, γιατί μόνο λίγοι μπορούν να είναι αρκετά τυχεροί για να το δοκιμάσετε στην πράξη. Ως εκ τούτου, θεωρούμε τα πιο πεζά εφαρμογές αυτού του θεωρήματος.

Ακτίνα μετάδοσης κινητής σήματος

Η σύγχρονη ζωή είναι αδύνατο να φανταστεί κανείς χωρίς την ύπαρξη του smartphone. Αλλά πόσοι από αυτούς θα πρέπει να proc αν ήταν δυνατή η σύνδεση συνδρομητές μέσω κινητού!

κινητών επικοινωνιών ποιότητα εξαρτάται άμεσα από το ύψος στο οποίο η κεραία να είναι η εταιρεία κινητής τηλεφωνίας. Για να καταλάβω πόσο μακριά από τους πύργους κινητής τηλεφωνίας μπορεί να λάβει το σήμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να βρείτε το κατά προσέγγιση ύψος ενός σταθερού πύργου, έτσι ώστε να μπορεί να διανέμει το σήμα σε μια ακτίνα 200 χιλιομέτρων.

ΑΒ (ύψος πύργου) = x?

Sun (ακτίνα Signal) = 200 χιλιόμετρα?

OC (ακτίνα γης) = 6.380 χιλιομέτρων?

εδώ

OB = ΟΑ + AVOV = r + x

Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, θα μάθετε ποιο είναι το ελάχιστο ύψος του πύργου θα πρέπει να είναι 2,3 χιλιόμετρα.

Πυθαγόρειο θεώρημα στο σπίτι

Περιέργως, το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να είναι χρήσιμο ακόμα και σε εγχώρια θέματα, όπως τον καθορισμό του ύψους του διαμερίσματος του υπουργικού συμβουλίου, για παράδειγμα. Με την πρώτη ματιά, δεν υπάρχει καμία ανάγκη να χρησιμοποιούν τέτοια πολύπλοκων υπολογισμών, επειδή μπορείτε να πάρετε ακριβώς τις μετρήσεις σας με μια μεζούρα. Ωστόσο, πολλοί αναρωτιούνται γιατί η διαδικασία κατασκευής υπάρχουν ορισμένα προβλήματα, αν όλες οι μετρήσεις έγιναν πάνω ακριβώς.

Το γεγονός είναι ότι η ντουλάπα πηγαίνει σε οριζόντια θέση και κατόπιν ανυψώνεται και τοποθετηθεί στον τοίχο. Ως εκ τούτου, το πλευρικό τοίχωμα του ερμαρίου κατά τη διαδικασία της ανύψωσης του σχεδιασμού πρέπει να ρέει ελεύθερα και σε ύψος, και διαγώνια χώρους.

Ας υποθέσουμε ότι έχετε μια ντουλάπα του βάθους 800 mm. Η απόσταση από το δάπεδο έως την οροφή - 2.600 χιλιοστά. Οι έμπειροι επιπλοποιός λέει ότι το ύψος των καταλυμάτων θα πρέπει να είναι 126 χιλιοστά μικρότερο από το ύψος του δωματίου. Αλλά γιατί σε 126 χιλιοστά; Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα.

Κάτω από ιδανικές διαστάσεις του υπουργικού συμβουλίου θα ελέγξει τη δράση του το Πυθαγόρειο θεώρημα:

√AV AC = ² + ² √VS

AU = √2474 ² 800 ² = 2.600 χιλιοστά - όλα συγκλίνουν.

Ας πούμε, το ύψος του υπουργικού συμβουλίου δεν είναι ίση με 2.474 χιλιοστά και 2505 χιλιοστά. Στη συνέχεια:

AU = √2505 ² + √800 = 2629 ^mm2.

Κατά συνέπεια, αυτή η καμπίνα δεν είναι κατάλληλο για εγκατάσταση σε ένα δωμάτιο. Από πότε πήρε όρθια θέση μπορεί να προκαλέσει βλάβη στο σώμα του.

Ίσως θεώρησε τους διαφορετικούς τρόπους για να αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα από διαφορετικούς επιστήμονες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι περισσότερο από ό, τι αληθινό. Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις πληροφορίες στην καθημερινή τους ζωή, και να είναι απολύτως βέβαιοι ότι όλοι οι υπολογισμοί είναι όχι μόνο χρήσιμη, αλλά και αληθινό.