Georg Cantor: θεωρία των συνόλων, βιογραφία και την οικογένειά μαθηματικά

Georg Cantor (φωτογραφία δείχνει αργότερα στο άρθρο) - Γερμανός μαθηματικός που ανέπτυξε τη θεωρία των συνόλων και εισήγαγε την έννοια της transfinite αριθμούς, απείρως μεγάλο, αλλά διαφορετικά το ένα από το άλλο. Έδωσε επίσης έναν ορισμό της τακτικός και καρδινάλιος αριθμούς και δημιούργησε την αριθμητική τους.

Georg Cantor: ένα σύντομο βιογραφικό

Γεννήθηκε στην Αγία Πετρούπολη 03/03/1845. Ο πατέρας του ήταν ένας Δανός προτεσταντική Georg Cantor Waldemar, ήταν ασχολούνται με το εμπόριο, στο Vol. H. Και στο χρηματιστήριο. Η μητέρα του, η Μαρία, Bem ήταν καθολικός και προερχόταν από μια οικογένεια διακεκριμένων μουσικών. Όταν το 1856 ο πατέρας του Γιώργος αρρώστησε, η οικογένεια σε αναζήτηση μιας πιο ήπιο κλίμα κινήθηκε πρώτος που θα Wiesbaden, στη συνέχεια, στη Φρανκφούρτη. Μαθηματική ταλέντο, το αγόρι εμφανίστηκε πριν 15ου έτους της ηλικίας του, ενώ σπουδάζουν σε ιδιωτικά σχολεία και δημόσια σχολεία στο Darmstadt και το Βισμπάντεν. Στο τέλος, Georg Cantor έπεισε τον πατέρα του στην αποφασιστικότητά του να γίνει ένας μαθηματικός και όχι μηχανικός.

Μετά από μια σύντομη εκπαίδευση στο Πανεπιστήμιο της Ζυρίχης το 1863. Cantor μεταφέρθηκε στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου για να μελετήσει τη φυσική, τη φιλοσοφία και τα μαθηματικά. Εκεί ήταν που διδάσκονται:

• Karl Theodor Weierstrass, του οποίου η εξειδίκευση στην ανάλυση, είχε ίσως τη μεγαλύτερη επιρροή στο Γιώργο?
• Ernst Kummer, ο οποίος δίδαξε την υψηλότερη αριθμητική?
• Leopold Kronecker, σε ειδικό αριθμό θεωρία, που αργότερα αντίθεση Cantor.

Έχοντας περάσει ένα εξάμηνο στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν το 1866, την επόμενη χρονιά ο Γιώργος έγραψε τη διδακτορική του διατριβή με τίτλο «Στα μαθηματικά, η τέχνη των ερωτήσεων είναι πιο πολύτιμη από την επίλυση των προβλημάτων» σχετικά με το πρόβλημα που ο Carl Friedrich Gauss άφησε άλυτο το Disquisitiones Arithmeticae του (1801) . Μετά από λίγο η διδασκαλία στο σχολείο του Βερολίνου για τα κορίτσια Kantor άρχισε να εργάζεται στο Πανεπιστήμιο του Halle, όπου παρέμεινε μέχρι το τέλος της ζωής του, αρχικά ως λέκτορας, από το 1872 ως βοηθός καθηγητή, και από το 1879 το πρώτο ως καθηγητής.

έρευνα

Στην αρχή μιας σειράς 10 έργα 1869-1873, Georg Cantor θεωρείται η θεωρία των αριθμών. Το έργο αντικατοπτρίζει το πάθος για το αντικείμενο της μελέτης του και την επίδραση του Gauss Kronecker. Με πρόταση του Heinrich Eduard Heine, οι συνεργάτες του Cantor στο Halle, ο οποίος αναγνώρισε μαθηματικό ταλέντο του, στράφηκε προς τη θεωρία της Τριγωνομετρικό σειρά, η οποία επεκτείνει την έννοια των πραγματικών αριθμών.

Με βάση την συνάρτηση έργου μιας σύνθετης μεταβλητής της γερμανικής μαθηματικός Bernhard Riemann στο 1854, το 1870, Cantor έδειξε ότι μια τέτοια λειτουργία μπορεί να εκπροσωπείται μόνο με έναν τρόπο - από Τριγωνομετρικό σειρά. Από την εξέταση του συνόλου των αριθμών (μονάδες), η οποία δεν θα έρχονται σε αντίθεση με την άποψη αυτή, τον οδήγησε, κατά πρώτο λόγο, το 1872, με τον ορισμό της άρρητους αριθμούς όσον αφορά την ακολουθίες συγκλίνουν των ρητών αριθμών (κλάσματα των ακεραίων) και στη συνέχεια με την έναρξη των εργασιών για το έργο της ζωής του, θεωρία συνόλων και η έννοια της transfinite αριθμούς.

θεωρία των συνόλων

Georg Cantor, η θεωρία που σύνολα προέρχεται σε αντιστοιχία με το Τεχνικό Ινστιτούτο του Braunschweig μαθηματικός Richard Dedekind, ήταν φίλοι μαζί του από την παιδική ηλικία. Κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τα σύνολα, πεπερασμένο ή άπειρο, είναι μία πλειάδα από στοιχεία (π.χ., αριθμοί {0, ± 1, ± 2 ...}) τα οποία έχουν ορισμένη ιδιότητα, διατηρώντας την ατομικότητά τους. Αλλά όταν Georg Cantor εφαρμοστεί για τη μελέτη των χαρακτηριστικών τους μονοσήμαντη (π.χ., {A, B, C} έως {1, 2, 3}), αυτός γρήγορα συνειδητοποίησαν ότι διαφέρουν ως προς το βαθμό της ασφάλισης, ακόμη και αν ήταν άπειρες σειρές , t. ε. σετ κομμάτι ή ένα υποσύνολο των οποίων περιλαμβάνει τον ίδιο αριθμό αντικειμένων, όπως είναι η ίδια. Η μέθοδός του μόλις έδωσε καταπληκτικά αποτελέσματα.

Το 1873, Georg Cantor (μαθηματικός) έδειξε ότι ρητών αριθμών, αν και άπειρο, είναι μετρήσιμα, επειδή μπορούν να τεθούν σε ένα-προς-ένα αντιστοιχία με φυσικά (δηλ. Ε 1, 2, 3 ,. Δ). Έδειξε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών που αποτελείται από ένα λογικό και παράλογο, και αμέτρητες άπειρο. Τι παράδοξο, Cantor απέδειξε ότι το σύνολο όλων των αλγεβρικών αριθμών περιέχει τόσες στοιχεία όπως το σύνολο όλων των ακεραίων, και ότι υπερβατικά αριθμούς που δεν είναι αλγεβρικές, το οποίο είναι ένα υποσύνολο της άρρητους αριθμούς είναι αμέτρητες και ως εκ τούτου ο αριθμός τους είναι μεγαλύτερος από ό, τι οι ακέραιοι και θα πρέπει να θεωρηθεί ως άπειρο.

Οι αντίπαλοι και υποστηρικτές

Αλλά η δουλειά Cantor, στην οποία παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά τα αποτελέσματα, δεν δημοσιεύτηκε στο περιοδικό «Krell» ως ένας από τους αναθεωρητές, Kronecker ήταν αντίθετοι. Όμως, μετά την παρέμβαση του Dedekind δημοσιεύθηκε το 1874 με τον τίτλο «Τα χαρακτηριστικά του συνόλου των πραγματικών αλγεβρικών αριθμών.»

Η επιστήμη και η προσωπική ζωή

Κατά το ίδιο έτος, κατά τη διάρκεια του μήνα του μέλιτος με τη σύζυγό του, Valli Gutman στο Ιντερλάκεν, Ελβετία, Cantor συναντήθηκε Dedekind που ευγενικά σχολίασε τη νέα του θεωρία. Γιώργος μισθός ήταν μικρό, αλλά με τα χρήματα του πατέρα του, ο οποίος πέθανε το 1863, είχε κατασκευαστεί για τη γυναίκα του και τα πέντε παιδιά στο σπίτι. Πολλά από τα έργα του έχουν δημοσιευθεί στη Σουηδία το νέο περιοδικό Acta Mathematica, ο εκδότης και ιδρυτής της οποίας ήταν Gösta Mittag-Leffler, από τους πρώτους που αναγνωρίζουν το ταλέντο της Γερμανός μαθηματικός.

Επικοινωνία με τη μεταφυσική

Θεωρία Cantor ήταν εντελώς νέο θέμα της έρευνας σχετικά με τα μαθηματικά άπειρο (π.χ., η αλληλουχία 1, 2, 3 ,. D., και πιο σύνθετες σύνολα), η οποία εξαρτάται από ένα-προς-ένα αντιστοιχία σε μεγάλο βαθμό. Cantor Ανάπτυξη νέων μεθόδων καθορισμού ερωτήσεις σχετικά με τη συνέχεια και το άπειρο δάνεισε αναμιγνύεται τις σπουδές του.

Όταν ο ίδιος υποστήριξε ότι υπάρχουν πραγματικά άπειρο αριθμό, στράφηκε προς την αρχαία και μεσαιωνική φιλοσοφία σε σχέση με τις πραγματικές και εν δυνάμει άπειρο, καθώς και για την έγκαιρη θρησκευτική εκπαίδευση, που οι γονείς του έδωσε. Το 1883, στο βιβλίο του «Βασικές αρχές της γενικής θεωρίας των συνόλων» Kantor σε συνδυασμό έννοια του μεταφυσική του Πλάτωνα.

Kronecker επίσης, ο οποίος υποστήριξε ότι «υπάρχουν» μόνο ακέραιους αριθμούς ( «Ο Θεός δημιούργησε τους ακέραιους αριθμούς, τα υπόλοιπα - το έργο του ανθρώπου»), για πολλά χρόνια, απέρριψε έντονα τα επιχειρήματά του και εμπόδισε το διορισμό του στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου.

transfinite αριθμούς

Στην 1895-1897 gg. Georg Cantor σχηματιστεί πλήρως την ιδέα του για τη συνέχεια και το άπειρο, συμπεριλαμβανομένης μια ατελείωτη σειρά αριθμών και καρδινάλιος, στο πιο διάσημο έργο του, που δημοσιεύθηκε υπό τον τίτλο «Συμβολή στη θεωρία της transfinite αριθμών» (1915). Το έργο περιλαμβάνει τη σύλληψη του, στην οποία οδήγησε μια απόδειξη ότι ένα άπειρο σύνολο μπορεί να παραδοθεί σε ένα-προς-ένα αντιστοιχία με ένα από τα υποσύνολα του.

Το μικρότερο transfinite απόλυτος αριθμός εννοούσε τη δύναμη του κάθε σετ, το οποίο μπορεί να θέσει σε ένα-προς-ένα αντιστοιχία με τους φυσικούς αριθμούς. Kantor περιγράφεται Aleph-μηδέν του. Μεγάλες transfinite πλήθος Alef-ορίσει έναν, δύο ή Αλεφ-t. D. Είναι αναπτυχθεί περαιτέρω αριθμητική ordinals, η οποία ήταν παρόμοια με την πεπερασμένη αριθμητική. Έτσι, έχει εμπλουτίσει την έννοια του απείρου.

Η αντιπολίτευση αντιμετώπισε, και ο χρόνος που χρειάστηκε για να εξασφαλίσει ότι οι ιδέες του ήταν πλήρως αποδεκτή, εξήγησε την πολυπλοκότητα της αναπροσαρμογής της αρχαίας ερώτημα του τι είναι ο αριθμός. Kantor έδειξε ότι ένα σύνολο σημείων επί της γραμμής έχει υψηλότερη χωρητικότητα από Αλεφ-μηδέν. Αυτό οδήγησε στο γνωστό πρόβλημα της συνεχούς υπόθεση - δεν καρδινάλιοι μεταξύ Aleph-μηδέν και χωρίς σημεία δύναμη στη γραμμή. Αυτό το πρόβλημα στο πρώτο και το δεύτερο μισό του 20ου αιώνα, παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον και έχει μελετηθεί από πολλούς μαθηματικοί, στο Vol. Η Kurt Gödel και Paul Cohen.

κατάθλιψη

Βιογραφία Γεωργά Kantora 1884 σημαδεύτηκε από αρχόμενη ψυχική ασθένεια του, αλλά συνέχισε να εργάζεται ενεργά. Το 1897 βοήθησε να κρατήσει το πρώτο Διεθνές Συνέδριο της Μαθηματικοί στη Ζυρίχη. Εν μέρει γιατί σε αντίθεση με την Kronecker, συχνά συμπαρασταθεί με τους νέους εκκολαπτόμενους μαθηματικοί και προσπάθησε να βρει έναν τρόπο για να τους σώσει από παρενοχλήσεις από δασκάλους που νιώθουν να απειλούνται από νέες ιδέες.

αναγνώριση

Στο γύρισμα του αιώνα, το έργο του αναγνωρίστηκε πλήρως ως βάση για τη θεωρία των λειτουργιών, την ανάλυση και την τοπολογία. Επιπλέον, Kantora Γεωργά βιβλίο υπηρέτησε ως ώθηση για την περαιτέρω ανάπτυξη της φορμαλιστικής και διαισθητικής σχολή λογική θεμέλια των μαθηματικών. Αυτό έχει αλλάξει σημαντικά το σύστημα της διδασκαλίας και συνδέεται συχνά με τη «νέα μαθηματικά».

Το 1911, Cantor ήταν μεταξύ εκείνων που καλούνται να τον εορτασμό της 500ής επετείου του Πανεπιστημίου του St Andrews στη Σκωτία. Πήγε εκεί με την ελπίδα να ανταποκριθεί Bertrand Russell, ο οποίος σε πρόσφατα δημοσιευμένη εργασία του Principia Mathematica αναφέρεται επανειλημμένα στη γερμανική μαθηματικός, αλλά αυτό δεν συνέβη. Πανεπιστήμιο απονεμήθηκε Cantor μια τιμητική βαθμό, αλλά λόγω ασθένειας δεν ήταν σε θέση να παραλάβει το βραβείο αυτοπροσώπως.

Cantor συνταξιοδοτήθηκαν το 1913 και έζησε στη φτώχεια και την πείνα κατά τη διάρκεια του Πρώτου Παγκοσμίου Πολέμου. ακυρώθηκαν γιορτές προς τιμήν του τα 70α γενέθλιά του το 1915 λόγω του πολέμου, αλλά μια μικρή τελετή πραγματοποιήθηκε στο σπίτι του. Πέθανε στις 06.01.1918, σε Galle, σε ένα ψυχιατρικό νοσοκομείο, όπου πέρασε τα τελευταία χρόνια της ζωής του.

Georg Cantor: Μια βιογραφία. οικογένεια

9 Αύγ. 1874, ο Γερμανός μαθηματικός παντρεύτηκε Valli Gutman. Το ζευγάρι είχε 4 γιους και 2 κόρες. Το τελευταίο παιδί γεννήθηκε το 1886 στην Cantor αγοράσει ένα νέο σπίτι. Υποστήριξη της οικογένειας βοήθησε την κληρονομιά του πατέρα του. Η υγεία του Cantor επηρεάζεται σε μεγάλο βαθμό το θάνατο του μικρότερου γιου του το 1899 - αφού ποτέ δεν άφησε την κατάθλιψη.