Ένα παράδειγμα ενός μαθηματικού μοντέλου. Ορισμός, ταξινόμηση και χαρακτηριστικά

Στο προτεινόμενο άρθρο για την προσοχή σας προσφέρουμε παραδείγματα των μαθηματικών μοντέλων. Επιπλέον, δίνουμε προσοχή στα βήματα της δημιουργίας μοντέλων και να συζητήσουν κάποιες από τις προκλήσεις που συνδέονται με μαθηματικά μοντέλα.

Ένας άλλος από τους ερώτησή μας - ένα μαθηματικό μοντέλο της οικονομίας, τα παραδείγματα, ο ορισμός των οποίων θα εξετάσουμε αργότερα. Ξεκινήστε τη συζήτηση που προσφέρουμε με την ίδια την έννοια του «μοντέλου», μια σύντομη ματιά στην κατάταξη και να προχωρήσουμε σε κύρια θέματα μας.

Η έννοια του «μοντέλου»

Ακούμε συχνά τη λέξη «μοντέλο». Τι είναι αυτό; Ο όρος αυτός έχει πολλούς ορισμούς, μόνο τρεις από αυτούς:

• ένα ειδικό αντικείμενο που δημιουργείται για τη λήψη και την αποθήκευση πληροφοριών που αντανακλά μερικές από τις ιδιότητες ή τα χαρακτηριστικά και ούτω καθεξής του αρχικού αντικειμένου (το ειδικό αντικείμενο μπορεί να εκφράζονται σε διαφορετικές μορφές: μια διανοητική περιγραφή χρησιμοποιώντας χαρακτήρες και ούτω καθεξής)?
• ακόμα κάτω από το μοντέλο συνεπάγεται τη χαρτογράφηση ειδικές καταστάσεις στη ζωή ή τη διαχείριση?
• μοντέλο μπορεί να χρησιμεύσει ως ένα μικρό αντίγραφο ενός αντικειμένου (που δημιουργούνται για μια πιο λεπτομερή μελέτη και ανάλυση, καθώς το μοντέλο αντανακλά τη δομή και τις σχέσεις).

Με βάση όλα όσα έχουν ειπωθεί στο παρελθόν, είναι δυνατόν να γίνει μια μικρή συμπέρασμα: το μοντέλο μας επιτρέπει να μελετήσουμε λεπτομερώς ένα πολύπλοκο σύστημα ή αντικείμενο.

Όλα τα μοντέλα μπορούν να ταξινομηθούν για πολλούς λόγους:

• στον τομέα της χρήσης (κατάρτιση, εμπειρία, την επιστήμη και την τεχνολογία, το gaming, προσομοίωση)?
• σχετικά με τη δυναμική της (στατική και δυναμική)?
• γνώση της βιομηχανίας (φυσική, χημική, γεωγραφική, ιστορική, κοινωνιολογική, οικονομική, μαθηματικά)?
• η μέθοδος της αναπαράστασης (και ουσιώδεις πληροφορίες).

μοντέλα πληροφορίες, με τη σειρά τους, χωρίζονται σε λεκτική και συμβολική. Ένα σημάδι - στον υπολογιστή και μη-υπολογιστή. Είμαστε τώρα σε μια λεπτομερή εξέταση των παραδειγμάτων των μαθηματικών μοντέλων.

μαθηματικό μοντέλο

Δεν είναι δύσκολο να μαντέψει ένα μαθηματικό μοντέλο αντανακλά τα χαρακτηριστικά του κάθε αντικειμένου ή φαινομένου με τη βοήθεια των ειδικών μαθηματικών συμβόλων. Μαθηματικά και πρέπει να μιμηθεί τα πρότυπα του κόσμου για συγκεκριμένη γλώσσα σας.

μέθοδος μαθηματικών μοντέλων έχει προκύψει για μεγάλο χρονικό διάστημα, πριν από χιλιάδες χρόνια, με την έλευση της επιστήμης. Ωστόσο, η ώθηση για την ανάπτυξη αυτής της μεθόδου μοντελοποίησης έδωσε την εμφάνιση ενός υπολογιστή (ηλεκτρονικοί υπολογιστές).

Είμαστε τώρα στην κατάταξη. Μπορεί επίσης να γίνει σε ορισμένα σημεία. Αυτά παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.

Ταξινόμηση από το πεδίο της επιστήμης	Η χρήση των μαθηματικών μοντέλων στη φυσική, κοινωνιολογία, χημεία, κλπ
Σύμφωνα με την μαθηματική συσκευή, η οποία χρησιμοποιείται στη διαδικασία μοντελοποίησης	Τα μοντέλα που βασίζονται στις διαφορικές εξισώσεις, διακριτά αλγεβρικό χειρισμούς, κ.λπ.
Για τους σκοπούς της μοντελοποίησης	Σύμφωνα με την αρχή αυτή, να κατανείμει περιγραφικό, βελτιστοποίηση, πολλαπλών κριτηρίων, τα παιχνίδια και τα μοντέλα προσομοίωσης

Προτείνουμε να σταματήσει και να εξετάσει πιο πρόσφατη κατάταξη, διότι αντανακλά τις γενικές νόμους της προσομοίωσης και των στόχων που καθορίζονται μοντέλα.

περιγραφικά μοντέλα

Σε αυτό το κεφάλαιο, προτείνουμε να σταθώ σε περιγραφικό μαθηματικά μοντέλα. Για να το κάνετε πολύ σαφές παράδειγμα θα δοθεί.

Ας ξεκινήσουμε με το γεγονός ότι αυτός ο τύπος μπορεί να ονομάζεται περιγραφική. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι απλά κάνουν τους υπολογισμούς και τις προβλέψεις, αλλά δεν μπορεί να επηρεάσει την έκβαση των γεγονότων.

Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα της περιγραφικής μαθηματικού μοντέλου είναι να υπολογίσει τη διαδρομή της πτήσης, την ταχύτητα, την απόσταση από τις κομήτες τη Γη, η οποία εισέβαλε στην απεραντοσύνη του ηλιακού μας συστήματος. Αυτό το μοντέλο είναι περιγραφικό, δεδομένου ότι όλα τα αποτελέσματα μπορεί να μας προειδοποιήσει μόνο του κάθε κίνδυνο. Επηρεάζουν την έκβαση ενός γεγονότος, δυστυχώς, δεν μπορούμε. Ωστόσο, με βάση αυτούς τους υπολογισμούς, είναι δυνατόν να λάβει μέτρα για τη διατήρηση της ζωής στη Γη.

μοντέλα βελτιστοποίησης

Τώρα έχουμε μια μικρή συζήτηση για τα οικονομικά και μαθηματικά μοντέλα, παραδείγματα των οποίων είναι διαφορετική η κατάσταση. Σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για μοντέλα που βοηθούν να βρείτε τη σωστή απάντηση σε ορισμένες περιπτώσεις. Θα έχει κάποιες επιλογές. Για να γίνει απολύτως σαφές, θεωρούν ένα παράδειγμα από το γεωργικό μέρος.

Έχουμε μια σιταποθήκη, αλλά ο σπόρος είναι πολύ ευπαθή. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να επιλέξετε τη σωστή θερμοκρασία και τη βελτιστοποίηση της διαδικασίας αποθήκευσης.

Έτσι, μπορούμε να ορίσουμε την έννοια του «μοντέλου βελτιστοποίησης.» Σε μαθηματικούς όρους, αυτό το σύστημα των εξισώσεων (γραμμικών και μη), η λύση του οποίου βοηθάει να βρείτε την βέλτιστη λύση σε μια συγκεκριμένη οικονομική κατάσταση. Ένα παράδειγμα ενός μαθηματικού μοντέλου (βελτιστοποίηση), κοιτάξαμε, αλλά θέλω να προσθέσω: Το είδος αυτό ανήκει στην κατηγορία των extremal προβλήματα, θα βοηθήσει για να περιγράψει τη λειτουργία του οικονομικού συστήματος.

Σημείωση ένα ακόμη πράγμα: το μοντέλο μπορεί να είναι διαφόρων τύπων (δείτε τον παρακάτω πίνακα.).

καθορισμένος	Στην περίπτωση αυτή, το αποτέλεσμα εξαρτάται από τα δεδομένα εισόδου
στοχαστική	Περιγραφή των τυχαίων διαδικασιών. Σε αυτή την περίπτωση το αποτέλεσμα είναι αβέβαιο

πολλαπλών κριτηρίων μοντέλο

Τώρα σας προσφέρουμε για να μιλήσουμε λίγο για το μαθηματικό μοντέλο των πολλαπλών κριτηρίων βελτιστοποίησης. Πριν από αυτό, έχουμε δώσει ένα παράδειγμα ενός μαθηματικού μοντέλου της διαδικασίας βελτιστοποίησης για κάθε μεμονωμένο κριτήριο, αλλά τι γίνεται αν πολλοί από αυτούς;

Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα ενός multicriterial πρόβλημα είναι η οργάνωση της σωστής, χρήσιμο και οικονομικό ταυτόχρονα τη δύναμη των μεγάλων ομάδων ανθρώπων. Με αυτά τα προβλήματα βρίσκονται συχνά στο στρατό, τα σχολικά κυλικεία, θερινές κατασκηνώσεις, νοσοκομεία και ούτω καθεξής.

Ποια κριτήρια δίνονται σε μας σε αυτό το πρόβλημα;

1. Τα γεύματα πρέπει να είναι χρήσιμη.
2. για τα τρόφιμα κόστος θα είναι ελάχιστο.

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτοί οι στόχοι δεν συμπίπτουν. Έτσι, για την επίλυση του προβλήματος αυτού, είναι απαραίτητο να ψάξουν για τη βέλτιστη λύση, την ισορροπία μεταξύ των δύο κριτηρίων.

μοντέλα Game

Μιλώντας για τα μοντέλα του παιχνιδιού, θα πρέπει να κατανοήσουν την έννοια της «θεωρίας των παιγνίων.» Με απλά λόγια, το μοντέλο δεδομένων αντιπροσωπεύουν μαθηματικά μοντέλα αυτών των συγκρούσεων. Μόνο απαραίτητο να γίνει κατανοητό ότι, σε αντίθεση με μαθηματικό μοντέλο πραγματική σύγκρουση έχει δικούς του ειδικούς κανόνες.

Ποιος θα δοθεί ένα ελάχιστο των πληροφοριών από τη θεωρία των παιχνιδιών που θα σας βοηθήσουν να καταλάβετε ποιο είναι το μοντέλο παιχνιδιού. Και έτσι, στο μοντέλο είναι πάντα παρόντες πλευρά (δύο ή περισσότερα), που συνήθως αποκαλούνται παίκτες.

Όλα τα μοντέλα διαθέτουν ορισμένα χαρακτηριστικά.

θέματα	Αριθμός παικτών
στρατηγική	Επιλογές για πιθανές ενέργειες
πληρωμή	σύγκρουση Exodus (νίκη ή ήττα).

Μοντέλο παιχνίδι μπορεί να συνδυαστεί ή πολλαπλές. Αν έχουμε δύο θέματα, το άτομο σύγκρουση, αν περισσότερο - Πολλαπλές. Μπορείτε επίσης να επιλέξετε ένα ανταγωνιστικό παιχνίδι, αυτό ονομάζεται ένα παιχνίδι μηδενικού αθροίσματος. Αυτό το μοντέλο, στο οποίο το κέρδος του ενός από τους συμμετέχοντες, ισούται με την απώλεια του άλλου.

μοντέλα προσομοίωσης

Στην ενότητα αυτή, θα επικεντρωθεί στην προσομοίωση των μαθηματικών μοντέλων. Παραδείγματα καθήκοντα περιλαμβάνουν:

• μοντέλο της δυναμικής των μικροοργανισμών?
• μοντέλο των μορίων, και ούτω καθεξής.

Σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για τα μοντέλα που είναι όσο πιο κοντά στο πραγματικό διαδικασίες. Σε γενικές γραμμές, αυτοί μιμούνται κάθε περιστατικό στη φύση. Στην πρώτη περίπτωση, για παράδειγμα, μπορούμε να προσομοιώσει τη δυναμική του αριθμού των μυρμηγκιών στο ίδιο αποικία. Είναι δυνατόν να παρατηρηθεί η μοίρα του κάθε ατόμου. Στην περίπτωση αυτή, η μαθηματική περιγραφή που χρησιμοποιείται σπάνια, συχνά υπάρχουν γραπτές όρους:

• Πέντε ημέρες αργότερα το θηλυκό γεννά τα αυγά της?
• είκοσι ημέρες μυρμήγκι πεθαίνει, και ούτω καθεξής.

Έτσι, τα μοντέλα προσομοίωσης που χρησιμοποιείται για να περιγράψει ένα μεγάλο σύστημα. Μαθηματική συμπέρασμα - η επεξεργασία των στατιστικών στοιχείων.

απαιτήσεις

Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε ότι αυτό το είδος του μοντέλου να επιβάλλει ορισμένες προϋποθέσεις, μεταξύ των οποίων - παρατίθενται στον παρακάτω πίνακα.

ευστροφία	Αυτή η λειτουργία σας επιτρέπει να χρησιμοποιείτε το ίδιο μοντέλο όταν περιγράφουν τον ίδιο τύπο των ομάδων αντικειμένου. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι η καθολική μαθηματικά μοντέλα δεν εξαρτώνται από τη σωματική φύση του αντικειμένου της δοκιμής
επάρκεια	Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι το ακίνητο μεγιστοποιεί σωστά αναπαράγει τις πραγματικές διαδικασίες. Σε προβλήματα λειτουργίας είναι πολύ σημαντικό για την ιδιοκτησία των μαθηματικών μοντέλων. Ένα παράδειγμα ενός μοντέλου μπορεί να είναι μια διαδικασία για τη βελτιστοποίηση της χρήσης του συστήματος αερίου. Σε αυτήν την περίπτωση, σε σύγκριση των υπολογιζόμενων και των πραγματικών αριθμών, ως αποτέλεσμα επαλήθευσε την ορθότητα του μοντέλου
ακρίβεια	Η απαίτηση αυτή συνεπάγεται τη σύμπτωση των τιμών που έχουμε για τον υπολογισμό του μαθηματικού μοντέλου και η συμβολή παραμέτρους της πραγματικής μας αντικειμένου
οικονομία	Η απαίτηση για την απόδοση που πρέπει να πληρούνται σε κάθε μαθηματικό μοντέλο, χαρακτηρίζεται από το κόστος της εφαρμογής. Εάν το έργο εκτελείται με ένα μοντέλο το χέρι, θα πρέπει να υπολογίσει πόσο χρόνο θα δαπανηθούν για την επίλυση ενός προβλήματος με τη βοήθεια του μαθηματικού μοντέλου. Όταν πρόκειται για computer-aided design, οι δείκτες υπολογίζονται χρόνου και της μνήμης του υπολογιστή

στάδια της μοντελοποίησης

Απλά μια μαθηματική μοντελοποίηση είναι σύνηθες να διακρίνουμε τέσσερα στάδια.

1. Διατύπωση των νόμων που συνδέουν τμήματα του μοντέλου.
2. Μια μελέτη των μαθηματικών προβλημάτων.
3. Υπολογίζοντας σύμπτωση των θεωρητικών και πρακτικών αποτελεσμάτων.
4. Ανάλυση και ενημέρωση του μοντέλου.

Οικονομική και μαθηματικό μοντέλο

Στην ενότητα αυτή, θα επισημάνω εν συντομία το θέμα των οικονομικών και μαθηματικών μοντέλων. Παραδείγματα καθήκοντα περιλαμβάνουν:

• η διαμόρφωση του προγράμματος παραγωγής παρασκευή προϊόντων με βάση το κρέας για μέγιστη παραγωγή κέρδους?
• Μεγιστοποίηση κερδοσκοπικός οργανισμός, υπολογίζοντας τη βέλτιστη ποσότητα απελευθέρωσης τραπέζια και καρέκλες σε ένα εργοστάσιο επίπλων, και ούτω καθεξής.

Οικονομική-μαθηματικό μοντέλο αντιπροσωπεύει μια οικονομική άντληση, η οποία εκφράζεται μέσω μαθηματικών όρων και συμβόλων.

Computer μαθηματικό μοντέλο

Παραδείγματα υπολογιστή μαθηματικού μοντέλου είναι:

• Υδραυλικά πρόβλημα με τη βοήθεια του μπλοκ διαγράμματα, διαγράμματα, πίνακες, και ούτω καθεξής?
• εργασίες για στερεά μηχανική, και ούτω καθεξής.

Το μοντέλο του υπολογιστή - μια εικόνα ενός αντικειμένου ή σύστημα, που παρουσιάζονται με τη μορφή:

• τραπέζι?
• διάγραμμα ροής?
• διαγράμματα?
• γραφικά, και ούτω καθεξής.

Επιπλέον, το μοντέλο αυτό αντανακλά τη δομή και το σύστημα των σχέσεων.

Η κατασκευή του οικονομικού και μαθηματικού μοντέλου

Έχουμε ήδη πει ότι αυτή η οικονομική-μαθηματικό μοντέλο. Ένα παράδειγμα για την επίλυση του προβλήματος θα συζητηθεί τώρα. Πρέπει να κάνουμε μια ανάλυση του προγράμματος παραγωγής για τον προσδιορισμό της αποθέματα για να αυξήσουν τα κέρδη στην περιοχή της διατμητικής.

Πλήρως εξετάσει το πρόβλημα, θα χτίσουμε όχι μόνο μαθηματικών οικονομικών μοντέλων. Κριτήριο στόχους μας - μεγιστοποίηση του κέρδους. Στη συνέχεια, η λειτουργία είναι ως εξής: Α = p1 + p2 * x1 * x2 ... τείνει στο μέγιστο. Σε αυτό το μοντέλο, ρ - είναι το κέρδος ανά μονάδα, x - είναι ο αριθμός των μονάδων που παράγονται. Περαιτέρω, με βάση την κατασκευασμένη μοντέλο, είναι απαραίτητο να κάνει υπολογισμούς, και να συνοψίσει.

Ένα παράδειγμα της κατασκευής ενός απλού μαθηματικού μοντέλου

Εργασία. Rybak επέστρεψε την ακόλουθη αλιευμάτων:

• 8 ψάρια - οι κάτοικοι των βορείων θαλασσών?
• 20% των αλιευμάτων - νότια θαλάσσια κατοίκους?
• από το τοπικό ποτάμι δεν βρέθηκε ένα μόνο ψάρι.

Πόσα ψάρια που είχε αγοράσει σε ένα κατάστημα;

Έτσι, ένα παράδειγμα ενός μαθηματικού μοντέλου αυτού του προβλήματος είναι η εξής. Υποδεικνύει το συνολικό αριθμό των ψαριών για το x. Μετά προϋπόθεση, 0.2 × - είναι ο αριθμός των ψάρια που ζουν σε νότια γεωγραφικά πλάτη. Τώρα συνδυάζουμε όλες τις διαθέσιμες πληροφορίες και να αποκτήσουν ένα μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος: x = 0.2 × 8 +. Έχουμε την επίλυση της εξίσωσης και να πάρετε μια απάντηση στο κύριο ερώτημα: 10 ψάρια που είχε αγοράσει στο κατάστημα.