Κανονική πολυεδρική: στοιχεία, συμμετρία και περιοχή

Η γεωμετρία είναι όμορφη σε αυτό, αντίθετα με την άλγεβρα, όπου δεν είναι πάντα σαφές τι και γιατί νομίζετε ότι δίνει την ορατότητα του αντικειμένου. Αυτός ο εκπληκτικός κόσμος διαφορετικών σωμάτων είναι διακοσμημένος με κανονικό πολυεδρικό.

Γενικές πληροφορίες σχετικά με τα κανονικά πολυεδρικά

Σύμφωνα με πολλούς, τα κανονικά πολυεδρικά, ή όπως ονομάζονται πλατωνικά σώματα, έχουν μοναδικές ιδιότητες. Αρκετές επιστημονικές υποθέσεις σχετίζονται με αυτά τα αντικείμενα. Όταν αρχίζετε να μελετάτε αυτά τα γεωμετρικά σώματα, καταλαβαίνετε ότι δεν γνωρίζετε σχεδόν τίποτα για μια τέτοια έννοια όπως τα κανονικά πολυεδρικά. Η παρουσίαση αυτών των αντικειμένων στο σχολείο δεν είναι πάντα ενδιαφέρουσα, τόσο πολλοί δεν θυμούνται ούτε καν αυτά που ονομάζονται. Στη μνήμη των περισσότερων ανθρώπων, μόνο ο κύβος παραμένει. Κανένα από τα σώματα στη γεωμετρία δεν έχει τέτοια τελειότητα όπως τα κανονικά πολυεδρικά. Όλα τα ονόματα αυτών των γεωμετρικών σωμάτων προέρχονταν από την Αρχαία Ελλάδα. Σημαίνουν τον αριθμό των προσώπων: τετράεδρο - τετραεδρικό, εξάεδρο - εξααεδρικό, οκταεδρικό - οκταεδρικό, δωδεκαέδρον - δωδεκαπλάσιο, εικοσαέδρον - εικοσάπλευρο. Όλα αυτά τα γεωμετρικά σώματα κατέλαβαν τη σημαντικότερη θέση στην αντίληψη του Πλάτωνα για το σύμπαν. Τέσσερις από αυτές παριστάνουν στοιχεία ή αποστάγματα: τετράεδρο - φωτιά, εικοσαέδρον - νερό, κύβος - γη, οκταεδρόν - αέρα. Το δωδεκαέδριο ενσωματώνει όλα όσα υπάρχουν. Θεωρήθηκε ο κύριος, επειδή ήταν ένα σύμβολο του σύμπαντος.

Γενίκευση της έννοιας ενός πολύεδρου

Ένα πολυεδρικό είναι μια συλλογή ενός πεπερασμένου αριθμού πολυγώνων έτσι ώστε:

• Κάθε πλευρά οποιουδήποτε από τα πολύγωνα είναι ταυτόχρονα η πλευρά μόνο ενός άλλου πολύγωνου κατά μήκος της ίδιας πλευράς.
• Από κάθε ένα από τα πολύγωνα, μπορείτε να πάτε στους άλλους που διέρχονται από γειτονικά πολύγωνα.

Τα πολύγωνα που αποτελούν το πολυεδρικό είναι τα πρόσωπά του και οι πλευρές τους είναι οι άκρες. Οι κορυφές των πολυγώνων είναι οι κορυφές των πολύγωνων. Αν η έννοια ενός πολυγώνου θεωρείται ότι είναι επίπεδες κλειστές πολυγωνικές γραμμές, τότε κάποιος έρχεται στον ίδιο ορισμό ενός πολύεδρου. Στην περίπτωση που αυτός ο όρος σημαίνει ένα μέρος του επιπέδου που οριοθετείται από διακεκομμένες γραμμές, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε μια επιφάνεια που αποτελείται από πολυγωνικά κομμάτια. Ένα κυρτό πολυεδρικό είναι ένα σώμα που βρίσκεται στη μία πλευρά του επιπέδου που βρίσκεται δίπλα στο πρόσωπό του.

Ένας άλλος ορισμός ενός πολύεδρου και των στοιχείων του

Ένα πολυεδρικό είναι μια επιφάνεια που αποτελείται από πολύγωνα που δεσμεύουν ένα γεωμετρικό σώμα. Είναι:

• Nonconvex;
• Κυρτό (σωστό και λάθος).

Ένα κανονικό πολυέδριο είναι ένα κυρτό πολυεδρικό με μέγιστη συμμετρία. Στοιχεία τακτικού πολυεδρικού:

• Tetrahedron: 6 άκρα, 4 πρόσωπα, 5 κορυφές.
• Εξάεδρον (κύβος): 12, 6, 8;
• Δωδεκάεδρο: 30, 12, 20;
• Octahedron: 12, 8, 6;
• Ικοσαύδρον: 30, 20, 12.

Θεώρημα του Euler

Καθορίζει μια σύνδεση μεταξύ του αριθμού των άκρων, των κορυφών και των προσώπων που αντιστοιχούν τοπολογικά σε μια σφαίρα. Προσθέτοντας τον αριθμό των κορυφών και των προσόψεων (B + D) για διαφορετικά κανονικά πολυεδρικά και συγκρίνοντάςτάς τους με τον αριθμό των άκρων, μπορεί κανείς να αποδείξει μια κανονικότητα: το άθροισμα του αριθμού των όψεων και των κορυφών είναι ίσο με τον αριθμό των άκρων (P) που αυξάνεται κατά 2. Μπορεί κανείς να αντλήσει έναν απλό τύπο:

• Β + Ρ = Ρ + 2.

Ο τύπος αυτός ισχύει για όλα τα κυρτά πολυεδρικά.

Βασικοί ορισμοί

Η έννοια ενός κανονικού πολυεδρικού δεν μπορεί να περιγραφεί με μία πρόταση. Είναι πιο πολυσυμμαντικό και ογκώδες. Για να μπορεί ένας οργανισμός να αναγνωρίζεται ως τέτοιος, είναι απαραίτητο να συμμορφώνεται με ορισμένους ορισμούς. Έτσι, ένα γεωμετρικό σώμα θα είναι ένα κανονικό πολυεδρικό όταν πληρούνται οι ακόλουθες συνθήκες:

• Είναι κυρτό.
• Ο ίδιος αριθμός ακμών συγκλίνει σε κάθε κορυφή του.
• Όλα τα πρόσωπα είναι κανονικά πολύγωνα ίσα μεταξύ τους.
• Όλες οι διεδρικές γωνίες είναι ίσες.

Ιδιότητες της κανονικής polyhedra

Υπάρχουν 5 διαφορετικοί τύποι κανονικών πολυεδρών:

1. Κύβος (hexahedron) - έχει μια επίπεδη γωνία στην κορυφή των 90 °. Έχει γωνία 3 πλευρών. Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι 270 °.
2. Το τετράεδρο είναι μια επίπεδη γωνία στην κορυφή των 60 °. Έχει γωνία 3 πλευρών. Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι 180 °.
3. Το οκταεδρόν είναι μια επίπεδη γωνία στην κορυφή των 60 °. Έχει γωνία 4 γωνιών. Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι 240 °.
4. Ο δωδεκαέδρος είναι μια επίπεδη γωνία στην κορυφή των 108 °. Έχει γωνία 3 πλευρών. Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι 324 °.
5. Icosahedron - έχει μια επίπεδη γωνία στην κορυφή - 60 °. Έχει μια 5-πολύπλευρη γωνία. Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι 300 °.

Περιοχή κανονικού πολυεδρού

Η επιφάνεια των γεωμετρικών αυτών σωμάτων (S) υπολογίζεται ως η περιοχή ενός κανονικού πολύγονου πολλαπλασιασμένου επί τον αριθμό των όψεων (G):

• S = (α: 2) χ 2G ctg π / ρ.

Ο όγκος ενός κανονικού πολυεδρικού

Αυτή η τιμή υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τον όγκο της κανονικής πυραμίδας, στη βάση της οποίας είναι το κανονικό πολύγωνο, από τον αριθμό των προσώπων και το ύψος της είναι η ακτίνα της εγγεγραμμένης σφαίρας (r):

• V = 1: 3rS.

Οι όγκοι των κανονικών polyhedra

Όπως κάθε άλλο γεωμετρικό σώμα, τα κανονικά πολυεδρικά έχουν διαφορετικούς όγκους. Παρακάτω είναι οι τύποι με τους οποίους μπορούν να υπολογιστούν:

• Tetrahedron: αχ 3√2: 12;
• Οκταεδρόν: α χ 3√2: 3;
• Icosahedron; Α χ 3;
• Εξάδα (κύβος): 5 х α х 3 х (3 + √5): 12;
• Δωδεκάεδρο: α χ 3 (15 + 7√5): 4.

Στοιχεία κανονικής πολυεδρικής

Το εξάεδρον και το οκταεδρόν είναι διπλά γεωμετρικά σώματα. Με άλλα λόγια, μπορούν να ληφθούν μεταξύ τους στην περίπτωση που το κέντρο βάρους του προσώπου θεωρείται ως η κορυφή του άλλου και αντίστροφα. Επίσης, το εικοσαέδρον και ο δωδεκαέδρος είναι διπλοί. Μόνο ένα τετράεδρο είναι διπλό στο ίδιο. Με τη μέθοδο του Euclid, μπορεί κανείς να αποκτήσει ένα δωδεκαέδριο από ένα εξάεδρο κατασκευάζοντας "στέγες" στις όψεις του κύβου. Οι κορυφές του τετράεδρου είναι οποιεσδήποτε 4 κορυφές του κύβου που δεν γειτονεύουν σε ζεύγη κατά μήκος της άκρης. Από το hexahedron (κύβος) μπορεί κανείς να αποκτήσει άλλα κανονικά polyhedra. Παρά το γεγονός ότι τα κανονικά πολύγωνα έχουν άπειρο αριθμό τακτικών πολυεδρικών υπάρχουν μόνο 5.

Radii κανονικών πολυγώνων

Με καθένα από αυτά τα γεωμετρικά σώματα συνδέονται 3 ομόκεντρες σφαίρες:

• Περιγράφεται, περνώντας από τις κορυφές του.
• Είναι εγγεγραμμένο, αγγίζοντας κάθε ένα από τα πρόσωπά του στο κέντρο του.
• Μέση, αγγίζοντας όλες τις πλευρές στη μέση.

Η ακτίνα της σφαίρας που περιγράφεται υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο:

• R = a: 2 χ tg π / g χ tg θ: 2.

Η ακτίνα της σφαίρας του εγγεγραμμένου υπολογίζεται από τον τύπο:

• R = α: 2 χ ctg π / ρ χ tg θ: 2,

Όπου θ είναι η γωνία δύο όψεων που βρίσκεται μεταξύ παρακείμενων όψεων.

Η ακτίνα της διάμεσης σφαίρας μπορεί να υπολογιστεί με τον ακόλουθο τύπο:

• Ρ = α cos π / ρ: 2 sin π / ώρα,

Όπου h είναι τιμή 4.6, 6.10 ή 10. Η αναλογία των περιγραφόμενων και εγγεγραμμένων ακτίνων είναι συμμετρική σε σχέση με τα p και q. Υπολογίζεται από τον τύπο:

• R / r = tg π / ρ χ tg π / q.

Συμμετρία πολυεδρικής

Η συμμετρία της κανονικής πολυεδρίας προκαλεί το κύριο ενδιαφέρον για αυτά τα γεωμετρικά σώματα. Εννοείται ως η κίνηση ενός σώματος στο διάστημα, που αφήνει τον ίδιο αριθμό κορυφών, προσώπων και άκρων. Με άλλα λόγια, κάτω από τη δράση του μετασχηματισμού συμμετρίας, η άκρη, η κορυφή ή το πρόσωπο είτε διατηρούν την αρχική τους θέση είτε μετακινούνται στην αρχική θέση μιας άλλης άκρης, μιας άλλης κορυφής ή όψης.

Στοιχεία συμμετρίας των κανονικών πολυεδρών είναι εγγενή σε όλα τα είδη τέτοιων γεωμετρικών σωμάτων. Εδώ μιλάμε για τον μετασχηματισμό ταυτότητας, που αφήνει οποιοδήποτε από τα σημεία στην αρχική θέση. Έτσι, κατά την περιστροφή ενός πολυγωνικού πρίσματος, μπορούν να ληφθούν διάφορες συμμετρίες. Οποιοσδήποτε από αυτούς μπορεί να εκπροσωπείται ως προϊόν αντανακλάσεων. Η συμμετρία, η οποία είναι το προϊόν ενός άρτια αριθμού αντανακλάσεων, ονομάζεται γραμμή. Αν είναι το προϊόν ενός περιττού αριθμού ανακλάσεων, τότε ονομάζεται αντίστροφο. Έτσι, όλες οι περιστροφές γύρω από μια ευθεία γραμμή αντιπροσωπεύουν μια άμεση συμμετρία. Κάθε αντανάκλαση του πολυεδρικού είναι η αντίστροφη συμμετρία.

Για να κατανοήσουμε καλύτερα τα στοιχεία συμμετρίας της κανονικής πολυεδρικής, μπορούμε να πάρουμε ένα παράδειγμα τετράεδρου. Κάθε ευθεία που διέρχεται από μία από τις κορυφές και το κέντρο αυτού του γεωμετρικού σχήματος θα περάσει από το κέντρο της όψης απέναντι από αυτήν. Κάθε μία από τις συστροφές στις 120 και 240 ° γύρω από τη γραμμή ανήκει στον πολλαπλό αριθμό συμμετριών του τετράεδρου. Δεδομένου ότι έχει 4 κορυφές και πρόσωπα, υπάρχουν μόνο οκτώ άμεσες συμμετρίες. Οποιαδήποτε από τις ευθείες γραμμές που περνούν από τη μέση της νεύρωσης και το κέντρο αυτού του σώματος περνά μέσα από το μέσο της αντίθετης άκρης. Οποιαδήποτε περιστροφή 180 °, που ονομάζεται μισή στροφή, γύρω από τη γραμμή είναι συμμετρική. Δεδομένου ότι ένα τετράεδρο έχει τρία ζεύγη ακμών, τότε υπάρχουν τρεις ακόμα πιο άμεσες συμμετρίες. Από τα παραπάνω μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο συνολικός αριθμός των άμεσων συμμετριών, συμπεριλαμβανομένου του ίδιου μετασχηματισμού, θα φθάσει τους δώδεκα. Δεν υπάρχουν άλλες άμεσες συμμετρίες για το τετράεδρο, αλλά έχει 12 αντίστροφη συμμετρία. Κατά συνέπεια, το τετράεδρο χαρακτηρίζεται από μόνο 24 συμμετρίες. Για λόγους σαφήνειας, μπορείτε να φτιάξετε ένα μοντέλο κανονικού τετράεδρου από χαρτόνι και βεβαιωθείτε ότι αυτό το γεωμετρικό σώμα έχει πραγματικά μόνο 24 συμμετρίες.

Το δωδεκάεδρο και το εικοσαέδρον είναι τα σώματα που βρίσκονται πιο κοντά στη σφαίρα. Το εικοσάεδρο έχει τον μεγαλύτερο αριθμό προσώπων, τη μεγαλύτερη διεδρική γωνία, και το πιο κοντινό μπορεί να είναι η σφαίρα. Το δωδεκάεδρο έχει το μικρότερο γωνιακό ελάττωμα, τη μεγαλύτερη στερεά γωνία στην κορυφή. Μπορεί να γεμίσει την περιγραφείσα σφαίρα όσο το δυνατόν περισσότερο.

Ανάπτυξη πολύεδρα

Τα σωστά πολυεδρικά του σκούπισμα, τα οποία όλοι κολληθήκαμε μαζί στην παιδική ηλικία, έχουν πολλές έννοιες. Αν υπάρχει μια συλλογή πολυγώνων, κάθε πλευρά της οποίας αναγνωρίζεται μόνο με μία πλευρά του πολυεδρικού, τότε η ταυτοποίηση των πλευρών πρέπει να αντιστοιχεί σε δύο προϋποθέσεις:

• Από κάθε πολύγωνο είναι δυνατή η διέλευση από πολύγωνα που έχουν την αναγνωρισμένη πλευρά.
• Τα αναγνωρισμένα μέρη πρέπει να έχουν το ίδιο μήκος.

Είναι η συλλογή πολυγώνων που ικανοποιούν αυτές τις συνθήκες που ονομάζεται ξεδίπλωση πολυεδρικού. Κάθε ένα από αυτά τα σώματα έχει πολλά από αυτά. Για παράδειγμα, ο κύβος έχει 11 κομμάτια.