Συνεχής συνάρτηση

Μία συνεχής λειτουργία είναι μια λειτουργία που δεν «άλματα», δηλαδή ένα για τις οποίες πληρούται η ακόλουθη συνθήκη: μικρές αλλαγές επιχείρημα που ακολουθείται από μικρές αλλαγές στις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης. Η γραφική παράσταση μιας τέτοιας λειτουργίας είναι μια συνεχής ή ομαλή καμπύλη.

Συνέχεια στο όριο σημείο για ένα σύνολο, μπορεί να καθορίζεται από το όριο έννοιες, δηλαδή, η λειτουργία θα πρέπει να έχει ένα όριο σε αυτό το σημείο, το οποίο είναι ίσο με την αξία του σε οριακό σημείο.

Όταν αυτές οι προϋποθέσεις σε κάποιο σημείο, δηλαδή τη λειτουργία στο σημείο μια ασυνέχεια, δηλαδή η συνέχεια της είναι σπασμένο. Στη γλώσσα των ορίων των δακρύων σημείου μπορεί να περιγραφεί ως μια αναντιστοιχία στις τιμές του σημείου θραύσεως με όριο μιας συνάρτησης (αν υπάρχει).

σημείο ασυνέχειας μπορεί να είναι αφαιρούμενο, είναι αναγκαίο να περιοριστεί η ύπαρξη των λειτουργιών, αλλά ακατάλληλα με την αξία του σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Σε αυτή την περίπτωση, σε αυτό το σημείο είναι δυνατό να «διορθώσει», δηλαδή να επεκτείνει τον ορισμό της συνέχειας.
Μια εντελώς διαφορετική εικόνα προκύπτει αν το όριο της συνάρτησης σε ένα δεδομένο δεν το σημείο υπάρχει. Υπάρχουν δύο πιθανά σημεία ασυνέχειας:

• η πρώτη του είδους - και υπάρχουν πεπερασμένα όρια τόσο του μονόπλευρη, και η αξία της μιας ή και τα δύο δεν συμπίπτουν με την τιμή της συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο σημείο?
• το δεύτερο είδος, όταν δεν υπάρχει μονόπλευρη ή και τα δύο από τα όρια ή τις τιμές ατελείωτες.

Ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων

• Λειτουργία που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα των αριθμητικών πράξεων, καθώς και υπέρθεση συνεχείς συναρτήσεις της περιοχής τους είναι επίσης συνεχής.
• Λαμβάνοντας υπόψη τη συνεχή λειτουργία, η οποία είναι θετική σε κάποιο σημείο, μπορείτε πάντα να βρείτε μια αρκετά μικρή γειτονιά στην οποία θα διατηρήσει το πρόσημό του.
• Ομοίως, αν η τιμή του σε δύο σημεία Α και Β είναι, αντίστοιχα, α και β, όπου το α είναι διαφορετικό από b, τότε για τα ενδιάμεσα σημεία θα πάρει όλες τις τιμές από το διάστημα (α? Β). Από εδώ μπορείτε να κάνετε ένα ενδιαφέρον συμπέρασμα: αν δώσεις μια τεντωμένη λαστιχένια ζώνη για να συρρικνωθεί, έτσι ώστε να μην κρεμάει (παραμένει ευθεία), ένα από τα σημεία της παραμένουν σταθερές. Μια γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από οποιοδήποτε ενδιάμεσο σημείο μεταξύ Α και Β, η οποία τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Σημειώστε μερικά από τα συνεχή (στην περιοχή του ορισμού τους) των στοιχειωδών λειτουργιών:

• σταθερή?
• ορθολογική?
• τριγωνομετρία.

Μεταξύ των δύο θεμελιώδεις έννοιες στα μαθηματικά - είναι συνεχής και διαφορίσιμη - είναι άρρηκτα συνδεδεμένες. Αρκεί να θυμηθούμε ότι για διαφορίσιμες συναρτήσεις θα πρέπει να είναι μια συνεχής λειτουργία.

Αν η συνάρτηση είναι σε κάποιο σημείο, υπάρχει συνεχής. Ωστόσο, δεν είναι απαραίτητο, έτσι ώστε το παράγωγό της είναι συνεχής.

Μια λειτουργία που έχει σε ένα σύνολο συνεχούς παραγώγου, ανήκει σε μια χωριστή κατηγορία των λείων συναρτήσεων. Με άλλα λόγια, είναι - μια συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση. Εάν το παράγωγο έχει έναν περιορισμένο αριθμό σημείων ασυνέχειας (μόνο η πρώτη είδος), η παρόμοια λειτουργία ονομάζεται τμηματικά λεία.

Μια άλλη σημαντική έννοια της μαθηματικής ανάλυσης είναι ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση, που είναι η ικανότητά του να είναι σε οποιοδήποτε σημείο του τομέα του το ίδιο συνεχές. Έτσι, μια ιδιότητα που παρατηρείται στο σύνολο των σημείων, και όχι μεμονωμένα.

Αν καθορίσει ένα σημείο, μπορείτε να πάρετε τίποτα άλλο, όπως ο ορισμός της συνέχειας, δηλαδή, από την ύπαρξη ομοιόμορφη συνέχεια σημαίνει ότι αυτό είναι μια συνεχής λειτουργία. Σε γενικές γραμμές, το αντίστροφο δεν ισχύει. Ωστόσο, σύμφωνα με το θεώρημα του Cantor, εάν η λειτουργία είναι συνεχής στο συμπαγές, δηλαδή, σε ένα κλειστό διάστημα, τότε είναι ομοιόμορφα συνεχής σε αυτό.