Γεωμετρική πρόοδος και οι ιδιότητές του

Γεωμετρική πρόοδος είναι σημαντική στα μαθηματικά ως επιστήμη, και εφαρμόζεται σημασία, δεδομένου ότι έχει μια εξαιρετικά ευρύ πεδίο εφαρμογής, ακόμη και στις υψηλότερες μαθηματικά, για παράδειγμα, στη θεωρία της σειράς. Οι πρώτες πληροφορίες για την πρόοδο που ήρθε σε μας από την αρχαία Αίγυπτο, ιδίως με τη μορφή της ένα πολύ γνωστό πρόβλημα του παπύρου Rhind επτά άτομα με επτά γάτες. Παραλλαγές αυτής της αποστολής επαναλήφθηκαν πολλές φορές σε διαφορετικούς χρόνους από άλλα έθνη. Ακόμη και η Velikiy Leonardo Pizansky, γνωστή ως Fibonacci (XIII c.), Μίλησε στο "Βιβλίο της Abacus."

Έτσι ώστε η γεωμετρική πρόοδος έχει μια αρχαία ιστορία. Αντιπροσωπεύει μια αριθμητική ακολουθία με ένα μη μηδενικό πρώτο μέλος, και κάθε επόμενο, ξεκινώντας με το δεύτερο προσδιορίζεται με πολλαπλασιασμό του προηγούμενου τύπου επανεμφάνιση σε μία σταθερή, μη μηδενική αριθμό που καλείται εξέλιξη παρονομαστή (συνήθως προσδιορίζονται με το γράμμα q).
Προφανώς, αυτό μπορεί να βρεθεί με τη διαίρεση κάθε επόμενο όρο της ακολουθίας με την προηγούμενη, δηλαδή z 2: z 1 = ... = Ζη: z n-1 = .... Κατά συνέπεια, για τους περισσότερους εξέλιξη εργασία (zn) αρκεί το ότι γνωρίζει την τιμή του πρώτου όρου του παρονομαστή και y 1 q.

Για παράδειγμα, ας z 1 = 7, q = - 4 (q <0), τότε η ακόλουθη γεωμετρική πρόοδο λαμβάνεται 7 - 28, 112 - 448, .... Όπως μπορείτε να δείτε, η προκύπτουσα ακολουθία δεν είναι μονότονη.

Υπενθυμίζουμε ότι μια αυθαίρετη ακολουθία των μονότονη (αύξηση / μείωση) όταν ένα από τα μέλη της, ακολουθούν περισσότερο / λιγότερο από την προηγούμενη. Για παράδειγμα, η αλληλουχία 2, 5, 9, ..., και -10, -100, -1000, ... - μονοχρωμία, η δεύτερη - ένα μειούμενο γεωμετρική πρόοδο.

Στην περίπτωση όπου το q = 1, όλα τα μέλη που βρέθηκαν να είναι, και αυτό ονομάζεται η σταθερά εξέλιξη.

Η ακολουθία ήταν η εξέλιξη αυτού του τύπου, θα πρέπει να ικανοποιούν την ακόλουθη αναγκαία και ικανή συνθήκη, δηλαδή: ξεκινώντας από το δεύτερο, το καθένα από τα μέλη της θα πρέπει να είναι ο γεωμετρικός μέσος των γειτονικών μελών.

Αυτή η ιδιότητα επιτρέπει υπό ορισμένες δύο παρακείμενα διαπίστωση αυθαίρετης όρος εξέλιξη.

n-th όρος εκθετικά εύκολα βρεθεί από τον τύπο: Ζη = z 1 * q ^ (n-1), ζ γνωρίζοντας πρώτο στέλεχος 1 και ο παρονομαστής q.

Δεδομένου ότι η ακολουθία των αριθμών έχει ένα ποσό, τότε μερικές απλές υπολογισμούς μας δώσει μια φόρμουλα για τον υπολογισμό του ποσού της πρώτης εξέλιξης των μελών της, και συγκεκριμένα:

S n = - (Ζη * q - z 1) / (1 - q).

Αντικατάσταση, στον τύπο του αξία έκφρασης zn z 1 * q ^ (n-1) για να ληφθεί ένα δεύτερο τύπο άθροισμα της εξέλιξης: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Είναι άξιο προσοχής το παρακάτω ενδιαφέρον γεγονός: το δισκίο από πηλό που βρέθηκαν σε ανασκαφές της αρχαίας Βαβυλώνας, η οποία αναφέρεται στο VI. Π.Χ., περιέχει αξιοσημείωτο τρόπο το άθροισμα των 1 + 2 + ... + 22 + 29 ίση με το 2 στο δέκατο αρνητικής ισχύος 1. Η εξήγηση αυτού του φαινομένου δεν έχει ακόμη βρεθεί.

Σημειώνουμε μία από τις ιδιότητες της γεωμετρικής προόδου - σταθερή εργασία των μελών της, απέχουν κατά ίσες αποστάσεις από τα άκρα της αλληλουχίας.

Ιδιαίτερη σημασία από επιστημονική άποψη, ένα τέτοιο πράγμα ως μια άπειρη γεωμετρική πρόοδο και τον υπολογισμό ποσού της. Υποθέτοντας ότι (ιν) - μια γεωμετρική πρόοδο με παρονομαστή q, ικανοποιώντας την κατάσταση | q | <1, το ποσό της θα αναφέρεται στο όριο προς την οποία γνωρίζουμε ήδη το ποσό των πρώτων μελών της, με απεριόριστη αύξηση του n, τότε πρέπει κανείς πλησιάζει το άπειρο.

Βρείτε αυτό το ποσό ως αποτέλεσμα της χρήσης του τύπου:

S n = y 1 / (1- q).

Και, καθώς η εμπειρία έχει δείξει, για τη φαινομενική απλότητα αυτής της εξέλιξης είναι κρυμμένο ένα τεράστιο δυναμικό αίτησης. Για παράδειγμα, αν έχουμε κατασκευάσει μια ακολουθία των τετραγώνων σύμφωνα με τον ακόλουθο αλγόριθμο, που συνδέει τα μεσαία σημεία της προηγούμενης, τότε σχηματίζουν ένα τετράγωνο άπειρη γεωμετρική πρόοδο που έχει μία παρονομαστή 1/2. Η ίδια μορφή εξέλιξης και περιοχή των τριγώνων, που λαμβάνονται σε κάθε στάδιο της κατασκευής, και το άθροισμα του είναι ίση με την περιοχή του αρχικού τετραγώνου.