Η θεωρία των πιθανοτήτων. Πιθανότητα εκδήλωσης, περιστασιακή εκδήλωση (θεωρία πιθανοτήτων). Ανεξάρτητη και ασυμβίβαστη εξελίξεις στη θεωρία των πιθανοτήτων

Είναι απίθανο ότι πολλοί άνθρωποι πιστεύουν ότι είναι δυνατό να μετρήσει τα γεγονότα, τα οποία σε κάποιο βαθμό τυχαία. Για να το πούμε με απλά λόγια, είναι ρεαλιστικό να γνωρίζουν ποια πλευρά του κύβου στα ζάρια θα πέσει την επόμενη φορά. Ήταν αυτή η ερώτηση να θέσω δύο μεγάλες επιστήμονες, έθεσε τα θεμέλια για αυτή την επιστήμη, τη θεωρία των πιθανοτήτων, η πιθανότητα εκδήλωσης στην οποία ο μελετηθεί αρκετά εκτενώς.

γενεά

Αν προσπαθήσετε να ορίσετε μια τέτοια έννοια όπως η θεωρία των πιθανοτήτων, έχουμε τα εξής: πρόκειται για έναν από τους κλάδους των μαθηματικών που μελετά τη σταθερότητα των τυχαίων γεγονότων. Προφανώς, αυτή η έννοια πραγματικά δεν αποκαλύπτει την ουσία, έτσι θα πρέπει να το εξετάσουμε με περισσότερες λεπτομέρειες.

Θα ήθελα να ξεκινήσω με τους ιδρυτές της θεωρίας. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, υπάρχουν δύο, ότι Ανά Φέρμα και bLez Πασκάλ. Ήταν η πρώτη απόπειρα με τη χρήση τύπων και μαθηματικούς υπολογισμούς για να υπολογίσει το αποτέλεσμα ενός γεγονότος. Σε γενικές γραμμές, τα βασικά στοιχεία της επιστήμης αυτής είναι ακόμα στο Μεσαίωνα. Ενώ διάφορες στοχαστές και επιστήμονες έχουν προσπαθήσει να αναλύσει τα παιχνίδια καζίνο όπως η ρουλέτα, ζάρια, και ούτω καθεξής, έτσι για να δημιουργήσει ένα σχέδιο, και το ποσοστό απώλειας ενός αριθμού. Το ίδρυμα έχει επίσης που το δέκατο έβδομο αιώνα ήταν οι παραπάνω μελετητές.

Αρχικά, το έργο τους δεν θα μπορούσε να αποδοθεί στα μεγάλα επιτεύγματα στον τομέα αυτό, μετά από όλα, αυτό που έκαναν, ήταν απλά εμπειρικά δεδομένα και τα πειράματα ήταν σαφώς χωρίς τη χρήση τύπων. Την πάροδο του χρόνου, αποδείχθηκε να επιτύχει σημαντικά αποτελέσματα, τα οποία εμφανίστηκαν ως αποτέλεσμα της παρατήρησης του καστ των οστών. Είναι το μέσο αυτό έχει βοηθήσει να φέρει το πρώτο ξεχωριστή συνταγή.

υποστηρικτές

Για να μην αναφέρουμε ένας τέτοιος άνθρωπος, όπως Κρίστιαν Huygens, κατά τη διαδικασία της μελέτης του θέματος που φέρει το όνομα της «θεωρίας των πιθανοτήτων» (πιθανότητα εκδήλωσης τονίζει σε αυτή την επιστήμη). Αυτό το άτομο είναι πολύ ενδιαφέρουσα. Ο ίδιος, καθώς και επιστήμονες που παρουσιάζονται παραπάνω προσπάθησε με τη μορφή μαθηματικών τύπων για να συναχθεί ένα μοτίβο τυχαία γεγονότα. Αξίζει να σημειωθεί ότι ο ίδιος δεν το μοιραστεί με τον Pascal και Fermat, αυτό είναι όλο το έργο του δεν συμπίπτουν με αυτά τα μυαλά. Huygens προερχόμενα τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων.

Ένα ενδιαφέρον γεγονός είναι ότι το έργο του ήρθε πολύ πριν τα αποτελέσματα των εργασιών των πρωτοπόρων, για να είμαστε ακριβείς, είκοσι χρόνια νωρίτερα. Υπάρχουν μόνο από τις έννοιες που προσδιορίστηκαν ήταν:

• δεδομένου ότι η έννοια των αξιών πιθανότητας ευκαιρία?
• προσδοκία για τη διακριτή περίπτωση?
• θεωρήματα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων.

Επίσης, δεν μπορεί να ξεχάσει Yakoba Bernulli, ο οποίος συνέβαλε επίσης στη μελέτη του προβλήματος. Μέσα από τη δική τους, κανείς από τους οποίους είναι ανεξάρτητες δοκιμές, ήταν σε θέση να αποδείξει το νόμο των μεγάλων αριθμών. Με τη σειρά τους, οι επιστήμονες Poisson και Laplace, ο οποίος εργάστηκε στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα, ήταν σε θέση να αποδείξει την αρχική θεώρημα. Από εκείνη τη στιγμή να αναλύσουμε τα λάθη στις παρατηρήσεις που άρχισε να χρησιμοποιεί τη θεωρία πιθανοτήτων. Κόμμα γύρω από αυτή την επιστήμη δεν θα μπορούσε και Ρώσοι επιστήμονες, μάλλον Markov, Chebyshev και Dyapunov. Βασίζονται στις εργασίες μεγάλες ιδιοφυΐες, εξασφάλισε το θέμα ως κλάδο των μαθηματικών. Δουλέψαμε αυτά τα στοιχεία στο τέλος του δέκατου ένατου αιώνα, και χάρη στη συμβολή τους, έχουν αποδειχθεί φαινόμενα όπως:

• νόμος των μεγάλων αριθμών?
• Θεωρία των αλυσίδων Markov?
• Το κεντρικό οριακό θεώρημα.

Έτσι, η ιστορία της γέννησης της επιστήμης και με τις μεγάλες προσωπικότητες που συνέβαλαν σε αυτό, τα πάντα είναι περισσότερο ή λιγότερο σαφής. Τώρα ήρθε η ώρα να συμπληρώσουν όλα τα γεγονότα.

βασικές έννοιες

Πριν αγγίξετε οι νόμοι και τα θεωρήματα πρέπει να μάθουν τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Γεγονός που κατέχει κυρίαρχο ρόλο. Αυτό το θέμα είναι αρκετά εκτεταμένη, αλλά δεν θα είναι σε θέση να κατανοήσουν όλα τα υπόλοιπα χωρίς αυτό.

Εκδήλωση στη θεωρία πιθανοτήτων - είναι Κάθε σύνολο των αποτελεσμάτων του πειράματος. Έννοιες του φαινομένου αυτού δεν υπάρχει αρκετή. Έτσι, Lotman επιστήμονας που εργάζεται στον τομέα αυτό, έχει εκφράσει ότι σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για το τι «συνέβη, αν και δεν θα μπορούσε να συμβεί.»

Τυχαία γεγονότα (θεωρία πιθανοτήτων δίνει ιδιαίτερη προσοχή σε αυτά) - είναι μια έννοια που περιλαμβάνει απολύτως κανένα φαινόμενο που έχει τη δυνατότητα να συμβεί. Ή, αντίθετα, το σενάριο αυτό δεν μπορεί να συμβεί κατά την εκτέλεση μιας ποικιλίας των συνθηκών. Αξίζει επίσης να γνωρίζουν ότι καταλαμβάνουν ολόκληρο τον όγκο των φαινομένων που συμβαίνουν μόνο τυχαία γεγονότα. Θεωρία πιθανοτήτων προτείνει ότι όλοι οι όροι μπορεί να επαναληφθεί συνεχώς. Είναι η συμπεριφορά τους έχει κληθεί «εμπειρία» ή «εξέτασης».

Σημαντική εκδήλωση - αυτό είναι ένα φαινόμενο που είναι εκατό τοις εκατό σε αυτή τη δοκιμή συμβεί. Κατά συνέπεια, το αδύνατο εκδήλωση - αυτό είναι κάτι που δεν συμβαίνει.

Συνδυάζοντας ζεύγη Δράσης (συμβατικά η υπόθεση Α και την υπόθεση Β) είναι ένα φαινόμενο που συμβαίνει ταυτόχρονα. Αυτοί αναφέρονται ως ΑΒ.

Η ποσότητα των ζευγών των γεγονότων Α και Β - C είναι, με άλλα λόγια, εάν τουλάχιστον ένας από αυτούς θα (Α ή Β), μπορείτε να πάρετε μια C. Ο τύπος που περιγράφεται φαινόμενο είναι γραμμένο ως C = Α + Β

Ασυμβίβαστο εξελίξεις στη θεωρία των πιθανοτήτων σημαίνει ότι οι δύο περιπτώσεις είναι αμοιβαία αποκλειόμενες. Την ίδια στιγμή που είναι σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να συμβεί. Κοινή γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων - είναι αντίποδα τους. Το συμπέρασμα είναι ότι αν ο Α συνέβη, αυτό δεν αποκλείει C.

Απέναντι στην εκδήλωση (θεωρία πιθανοτήτων τους κρίνει με μεγάλη λεπτομέρεια), είναι εύκολο να καταλάβει. Είναι καλύτερα να ασχοληθεί με τους σύγκριση. Είναι σχεδόν το ίδιο ασυμβίβαστη εξελίξεις στη θεωρία των πιθανοτήτων. Ωστόσο, η διαφορά τους είναι ότι θα πρέπει να συμβεί ένα από μια πλειάδα φαινομένων σε κάθε περίπτωση.

Εξίσου πιθανό εκδηλώσεις - οι δράσεις αυτές, η δυνατότητα επανάληψης είναι ίση. Για να καταστεί σαφές, μπορείτε να φανταστείτε πετώντας ένα κέρμα: απώλεια μιας από τις πλευρές του είναι εξίσου πιθανή απώλεια άλλων.

είναι πιο εύκολο να εξετάσουν το παράδειγμα της ευνοεί την εκδήλωση. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα επεισόδιο στο επεισόδιο A. Η πρώτη - μια ζαριά του πεθαίνουν με την έλευση ενός μονό αριθμό, και η δεύτερη - η εμφάνιση του αριθμού πέντε στα ζάρια. Στη συνέχεια αποδεικνύεται ότι Α είναι ευνοημένη V.

Ανεξάρτητα γεγονότα είναι στη θεωρία πιθανοτήτων προβάλλεται μόνο σε δύο ή περισσότερες φορές και να περιλαμβάνει ανεξάρτητη από οποιαδήποτε ενέργεια από την άλλη. Για παράδειγμα, Α - σε απώλεια πετώντας ουρές κέρμα, και Β - βύσμα dostavanie από το κατάστρωμα. Έχουν ανεξάρτητα γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων. Από αυτή τη στιγμή έγινε σαφές.

Εξαρτάται από τα γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων είναι επιτρεπτή μόνο για την ομάδα τους. Υπονοούν εξάρτηση του ενός επί του άλλου, δηλαδή, το φαινόμενο μπορεί να συμβεί μόνο στην περίπτωση που έχει ήδη συμβεί Α ή, αντιθέτως, δεν συνέβη όταν είναι - την κύρια προϋπόθεση για B.

Το αποτέλεσμα του τυχαίου πειράματος που αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο - είναι στοιχειώδη γεγονότα. Θεωρία πιθανοτήτων λέει ότι είναι ένα φαινόμενο που γίνεται μόνο μία φορά.

βασικός τύπος

Έτσι, η παραπάνω θεωρήθηκαν η έννοια της «εκδήλωσης», «θεωρία των πιθανοτήτων», δόθηκε επίσης τους ορισμούς των βασικών όρων αυτής της επιστήμης. Τώρα ήρθε η ώρα να εξοικειωθεί με τις σημαντικές τύπους. Αυτές οι εκφράσεις επιβεβαίωσε μαθηματικά όλες τις βασικές έννοιες σε ένα τόσο δύσκολο θέμα όπως η θεωρία των πιθανοτήτων. Πιθανότητα εκδήλωσης και παίζει τεράστιο ρόλο.

Καλύτερα να ξεκινήσετε με τις βασικές συνταγές του Συνδυαστική. Και προτού να τους ξεκινήσει, αξίζει να εξετάσουμε τι είναι.

Συνδυαστική - είναι κατά κύριο λόγο ένας κλάδος των μαθηματικών, που έχει μελετήσει έναν τεράστιο αριθμό των ακεραίων, και διάφορες παραλλαγές της, τόσο τους αριθμούς και τα στοιχεία τους, διάφορα στοιχεία, κλπ, που οδηγεί σε μια σειρά από συνδυασμούς ... Εκτός από τη θεωρία των πιθανοτήτων, αυτή η βιομηχανία είναι σημαντική για τη στατιστική, την πληροφορική και την κρυπτογραφία.

Έτσι, τώρα μπορείτε να περάσουμε στην παρουσίαση του εαυτού τους και των τύπων ορισμό τους.

Το πρώτο από αυτά είναι η έκφραση για τον αριθμό των μεταθέσεων, είναι ως εξής:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Εξίσωση ισχύει μόνο στην περίπτωση, εάν τα στοιχεία διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά της ρύθμισης.

Τώρα τύπο τοποθέτησης, θα μοιάζει με αυτό θα πρέπει να εξεταστούν:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Αυτή η έκφραση είναι εφαρμόσιμη όχι μόνον στην μόνο στοιχείο της παραγγελίας, αλλά επίσης και με τη σύνθεσή του.

Η τρίτη εξίσωση της Συνδυαστική, και είναι ο τελευταίος, που ονομάζεται τύπος για τον αριθμό των συνδυασμών:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Συνδυασμός ονομάζεται δειγματοληψίας, τα οποία δεν διέταξε, αντίστοιχα, και να εφαρμοστεί αυτός ο κανόνας.

Με τις φόρμουλες των Συνδυαστική ήρθε για να καταλάβει εύκολα, τώρα μπορείτε να πάτε με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας. Μοιάζει με αυτή την έκφραση ως εξής:

P (A) = m: n.

Σε αυτόν τον τύπο, πι - είναι ο αριθμός πρόσφορων συνθηκών για την εκδήλωση της Α, και το η - αριθμός εξίσου και πλήρως όλα στοιχειώδη γεγονότα.

Υπάρχουν πολλές εκφράσεις στο άρθρο δεν θα πρέπει να θεωρείται τίποτα, αλλά επηρεάζονται θα είναι τα πιο σημαντικά, όπως, για παράδειγμα, η πιθανότητα των γεγονότων ανέρχεται:

Ρ (Α + Β) = P (A) + P (B) - αυτό θεώρημα για την προσθήκη μόνο αμοιβαίως αποκλειστικές εκδηλώσεις?

Ρ (Α + Β) = P (A) + P (B) - P (AB) - αλλά αυτό είναι μόνο για την προσθήκη συμβατών.

Η πιθανότητα των έργων εκδήλωσης:

P (A ⋅ Β) = P (A) ⋅ Ρ (Β) - αυτό θεώρημα για ανεξάρτητα γεγονότα?

(P (A ⋅ Β) = P (A) ⋅ Ρ (Β | Α)? Ρ (Α ⋅ Β) = P (A) ⋅ P (A | B)) - και αυτό για την εξαρτημένη.

Έληξε λίστα του τύπου εκδηλώσεις. Η θεωρία των πιθανοτήτων μας λέει θεώρημα Bayes, το οποίο μοιάζει με αυτό:

P (H_m | Α) = (P (H_m) Ρ (Α | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) Ρ (Α | H_k)), m = 1, ..., n

Σε αυτόν τον τύπο, Η _{1, Η2,} ..., H _n - είναι ένα πλήρες σύνολο των υποθέσεων.

Σε αυτή τη στάση, την εφαρμογή δείγματα τύπων θα πρέπει τώρα να εξεταστεί για συγκεκριμένες εργασίες από την πρακτική.

παραδείγματα

Αν έχετε μελετήσει προσεκτικά κάθε κλάδος των μαθηματικών, δεν είναι χωρίς ασκήσεις και οι λύσεις του δείγματος. Και η θεωρία των πιθανοτήτων: γεγονότα, τα παραδείγματα εδώ είναι αναπόσπαστο στοιχείο της επιβεβαίωσης επιστημονικούς υπολογισμούς.

Ο τύπος για τον αριθμό των μεταθέσεων

Για παράδειγμα, σε μια τράπουλα έχει τριάντα κάρτες, ξεκινώντας από την ονομαστική. Επόμενη ερώτηση. Πόσοι τρόποι για να διπλώσετε το κατάστρωμα, έτσι ώστε οι κάρτες με ονομαστική αξία του ενός και δύο δεν βρίσκεται δίπλα;

Το έργο έχει οριστεί, τώρα ας προχωρήσουμε για την αντιμετώπισή του. Πρώτα πρέπει να προσδιοριστεί ο αριθμός των μεταθέσεων των τριάντα στοιχεία, για το σκοπό αυτό παίρνουμε τον παραπάνω τύπο, αποδεικνύεται P_30 = 30!.

Με βάση αυτόν τον κανόνα, γνωρίζουμε πόσες επιλογές υπάρχουν για να καθορίζουν την τράπουλα με πολλούς τρόπους, αλλά πρέπει να αφαιρεθούν από αυτά είναι εκείνα στα οποία η πρώτη και η δεύτερη κάρτα θα είναι η επόμενη. Για να το κάνετε αυτό, ξεκινήστε με μια παραλλαγή, όταν η πρώτη βρίσκεται στο δεύτερο. Αποδεικνύεται ότι ο πρώτος χάρτης μπορεί να πάρει είκοσι εννέα θέσεις - από την πρώτη έως την εικοστή ένατη, και η δεύτερη κάρτα από το δεύτερο στο τριάντα, γυρίζει είκοσι εννέα θέσεων για τα ζευγάρια των καρτών. Με τη σειρά τους, οι άλλοι μπορεί να πάρει είκοσι οκτώ έδρες, και με οποιαδήποτε σειρά. Δηλαδή, για την αναδιάταξη των είκοσι οκτώ κάρτες έχουν είκοσι οχτώ επιλογές P_28 = 28!

Το αποτέλεσμα είναι ότι, αν λάβουμε υπόψη την απόφαση, όταν η πρώτη κάρτα είναι για την δεύτερη επιπλέον ευκαιρία για να πάρει 29 ⋅ 28! = 29!

Χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο, θα πρέπει να υπολογίσετε τον αριθμό των απολυμένων επιλογές για την περίπτωση κατά την οποία η πρώτη κάρτα που βρίσκεται κάτω από το δεύτερο. Επίσης ελήφθησαν 29 ⋅ 28! = 29!

Από τα ανωτέρω προκύπτει ότι οι επιπλέον επιλογές 2 ⋅ 29!, Ενώ τα απαραίτητα μέσα για τη συλλογή του καταστρώματος 30! - 2 ⋅ 29!. Μένει μόνο να υπολογίσει.

30! = 29! ⋅ 30? 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30-2) = 29! ⋅ 28

Τώρα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε μαζί όλους τους αριθμούς 1-29, και στη συνέχεια, στο τέλος όλων πολλαπλασιάζεται με 28. Η απάντηση που ελήφθη 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Παραδείγματα λύσεων. Ο τύπος για τον αριθμό των καταλύματος

Σε αυτό το πρόβλημα, θα πρέπει να μάθετε πόσα υπάρχουν τρόποι για να βάλει τα δεκαπέντε τόμους σε ένα ράφι, αλλά υπό την προϋπόθεση ότι μόνο τριάντα τόμους.

Σε αυτό το έργο, η απόφαση είναι λίγο πιο εύκολο από ό, τι την προηγούμενη. Χρησιμοποιώντας την ήδη γνωστό τύπο, είναι απαραίτητο για τον υπολογισμό του συνολικού αριθμού των τριάντα θέσεις δεκαπέντε όγκους.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Απόκριση, αντίστοιχα, θα είναι ίσο με το 843 204 202 931 727 360 000.

Τώρα πάρτε το έργο λίγο πιο δύσκολο. Θα πρέπει να γνωρίζουμε πόσοι υπάρχουν τρόποι για να τακτοποιήσετε τα τριάντα δύο βιβλία στα ράφια των καταστημάτων, με την προϋπόθεση ότι μόνο δεκαπέντε όγκους μπορεί να βρίσκεται στο ίδιο ράφι.

Πριν από την έναρξη της απόφασης θα ήθελα να διευκρινίσω ότι ορισμένα από τα προβλήματα μπορούν να λυθούν με διάφορους τρόπους, και σε αυτό υπάρχουν δύο τρόποι, αλλά εφαρμόζεται τόσο ένα και το ίδιο τύπο.

Στο έργο αυτό, μπορείτε να πάρετε την απάντηση από την προηγούμενη, γιατί εκεί έχουμε υπολογίσει τον αριθμό των φορών που μπορείτε να συμπληρώσετε το ράφι για δεκαπέντε βιβλία με διαφορετικούς τρόπους. Αποδείχθηκε A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Το δεύτερο σύνταγμα που υπολογίζεται από τον τύπο ανασχηματισμό, επειδή τοποθετείται δεκαπέντε βιβλία, ενώ το υπόλοιπο των δεκαπέντε. Χρησιμοποιούμε τον τύπο P_15 = 15!.

Αποδεικνύεται ότι το ποσό που θα A_30 ^ 15 ⋅ P_15 τρόπους, αλλά, επιπλέον, το γινόμενο όλων των αριθμών 30 έως 16 θα πολλαπλασιάζεται με το γινόμενο των αριθμών 1-15, στο τέλος να αποδειχθεί ότι το προϊόν από όλους τους αριθμούς 1-30, αυτή είναι η απάντηση είναι 30!

Αλλά αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με διαφορετικό τρόπο - πιο εύκολη. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να φανταστείτε ότι υπάρχει ένα ράφι για τριάντα βιβλία. Όλοι τους έχουν τοποθετηθεί σε αυτό το επίπεδο, αλλά επειδή η κατάσταση απαιτεί ότι υπήρχαν δύο ράφια, ένα μακρύ έχουμε πριόνισμα κατά το ήμισυ, δύο στροφές δεκαπέντε. Από αυτό αποδεικνύεται ότι για τη ρύθμιση αυτή μπορεί να είναι P_30 = 30!.

Παραδείγματα λύσεων. Ο τύπος για τον αριθμό των συνδυασμών

Ποιος θεωρείται μια παραλλαγή της τρίτης πρόβλημα της Συνδυαστική. Θα πρέπει να γνωρίζουμε πόσοι τρόποι υπάρχουν για να κανονίσετε δεκαπέντε βιβλία με την προϋπόθεση ότι θα πρέπει να επιλέξετε από τριάντα ακριβώς το ίδιο.

Για την απόφαση αυτή, φυσικά, ισχύει η φόρμουλα για τον αριθμό των συνδυασμών. Από τον όρο ότι γίνεται σαφές ότι η σειρά των ίδιων δεκαπέντε βιβλία δεν είναι σημαντική. Έτσι, αρχικά θα πρέπει να μάθετε το συνολικό αριθμό των συνδυασμών των τριάντα δεκαπέντε βιβλία.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Αυτό είναι όλο. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, στο συντομότερο δυνατό χρόνο για να λύσει ένα τέτοιο πρόβλημα, η απάντηση, αντίστοιχα, ισούται με 155,117,520.

Παραδείγματα λύσεων. Το κλασικό ορισμό της πιθανότητας

Χρησιμοποιώντας τον τύπο που δίνεται παραπάνω, μπορεί κανείς να βρει μια απάντηση σε μια απλή εργασία. Αλλά θα δούμε ξεκάθαρα και να ακολουθούν την πορεία δράσης.

Το έργο, δεδομένου ότι σε ένα δοχείο υπάρχουν δέκα εντελώς όμοια μπάλες. Από αυτούς, τέσσερις κίτρινες και έξι μπλε. Απόσπασμα από τη λάρνακα μία μπάλα. Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την πιθανότητα dostavaniya μπλε.

Για να λυθεί το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να ορίσει dostavanie μπλε εκδήλωση μπάλα A. Αυτή η εμπειρία μπορεί να έχει δέκα αποτελέσματα, τα οποία, με τη σειρά του, στοιχειώδη και εξίσου πιθανό. Ταυτόχρονα, έξι από τα δέκα είναι ευνοϊκές για το συμβάν Α Λύστε τον ακόλουθο τύπο:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Η εφαρμογή αυτού του τύπου, έχουμε μάθει ότι η δυνατότητα dostavaniya μπλε μπάλα είναι 0,6.

Παραδείγματα λύσεων. Η πιθανότητα των γεγονότων ποσού

Ποιος θα είναι μια παραλλαγή η οποία επιλύεται με τη χρήση του τύπου της πιθανότητας των γεγονότων ποσού. Έτσι, με δεδομένη την προϋπόθεση ότι υπάρχουν δύο περιπτώσεις, το πρώτο είναι γκρι και πέντε λευκά μπάλες, ενώ η δεύτερη - οκτώ γκρι και τέσσερις λευκές μπάλες. Ως αποτέλεσμα, η πρώτη και η δεύτερη κουτιά έχουν ληφθεί σε ένα από αυτά. Είναι απαραίτητο να μάθετε ποιες είναι οι πιθανότητες που δεν είχαν οι μπάλες είναι γκρι και λευκό.

Για να λυθεί αυτό το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η εκδήλωση.

• Έτσι, Α - έχουμε μια γκρίζα μπάλα του πρώτου κουτιού: P (A) = 1/6.
• Α «- λευκό λαμπτήρα λαμβάνονται επίσης από το πρώτο κιβώτιο: Ρ (Α») = 5/6.
• Η - ήδη εκχυλίζεται γκρι μπάλα του δεύτερου αγωγού: P (B) = 2/3.
• Β «- πήρε μια γκρίζα μπάλα του δεύτερου συρταριού: Ρ (Β») = 1/3.

Σύμφωνα με το πρόβλημα, είναι απαραίτητο ότι ένα από τα φαινόμενα που συνέβη: ΑΒ «ή» Β Χρησιμοποιώντας τον τύπο, έχουμε: Ρ (ΑΒ «) = 1/18, Ρ (A'B) = 10/18.

Τώρα χρησιμοποιήθηκε ο τύπος του πολλαπλασιασμού του πιθανότητας. Στη συνέχεια, για να μάθετε την απάντηση, θα πρέπει να εφαρμόσει την εξίσωση τους προσθέτοντας:

Ρ = Ρ (ΑΒ '+ A'B) = Ρ (ΑΒ') + P (A'B) = 11/18.

Έτσι, χρησιμοποιώντας τον τύπο, μπορείτε να λύσετε αυτά τα προβλήματα.

αποτέλεσμα

Το έγγραφο παρουσιάστηκε με τις πληροφορίες στην «θεωρία των πιθανοτήτων», την πιθανότητα των γεγονότων που παίζουν σημαντικό ρόλο. Φυσικά, δεν είναι όλα έχουν εξεταστεί, αλλά επί τη βάσει του κειμένου που παρουσίασε, μπορείτε θεωρητικά να εξοικειωθούν με αυτό τον κλάδο των μαθηματικών. Θεωρείται η επιστήμη μπορεί να είναι χρήσιμο όχι μόνο στον επαγγελματικό, αλλά και στην καθημερινή ζωή. Μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε για τον υπολογισμό κάθε πιθανότητα ενός γεγονότος.

Το κείμενο επηρεάστηκε επίσης από τις σημαντικές ημερομηνίες στην ιστορία της ανάπτυξης της θεωρίας των πιθανοτήτων ως επιστήμη, και τα ονόματα των ατόμων των οποίων τα έργα έχουν τεθεί σε αυτήν. Αυτό είναι το πώς η ανθρώπινη περιέργεια έχει οδηγήσει στο γεγονός ότι οι άνθρωποι έχουν μάθει να μετράνε, ακόμα και τυχαία γεγονότα. Από τη στιγμή που είναι μόνο ενδιαφέρονται για αυτό, αλλά σήμερα είναι ήδη γνωστά σε όλους. Και κανείς δεν μπορεί να πει τι θα συμβεί σε εμάς στο μέλλον, τι άλλο λαμπρό ανακαλύψεις που σχετίζονται με τη θεωρία υπό εξέταση, θα πρέπει να δεσμευτεί. Αλλά ένα πράγμα είναι σίγουρο - η μελέτη εξακολουθεί να μην αξίζει τον κόπο!