Κυρτών πολυγώνων. Ορισμός ενός κυρτού πολυγώνου. Οι διαγώνιες ενός κυρτού πολυγώνου

Αυτά τα γεωμετρικά σχήματα είναι παντού γύρω μας. Κυρτών πολυγώνων είναι φυσικά, όπως ένα κυψελοειδές ή τεχνητή (τεχνητές). Τα στοιχεία αυτά χρησιμοποιούνται στην παραγωγή διαφόρων τύπων των επικαλύψεων στην τέχνη, την αρχιτεκτονική, στολίδια, κλπ Κυρτού πολυγώνου έχουν την ιδιότητα ότι τα σημεία τους να βρίσκονται στη μία πλευρά μιας ευθείας γραμμής που περνά μέσα από το ζεύγος γειτονικών κορυφών του γεωμετρικού σχήματος. Υπάρχουν και άλλοι ορισμοί. Είναι ονομάζεται κυρτό πολύγωνο, το οποίο είναι διατεταγμένο σε ένα ενιαίο ημιεπίπεδο σε σχέση με οποιαδήποτε ευθεία γραμμή που περιέχει μία από τις πλευρές της.

κυρτά πολύγωνα

Κατά τη διάρκεια της στοιχειώδους γεωμετρίας αντιμετωπίζονται πάντα εξαιρετικά απλό πολύγωνο. Για να κατανοήσουμε τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων θα πρέπει να κατανοήσουν τη φύση τους. Για να αρχίσουμε να καταλαβαίνουμε ότι οι κλειστές είναι κάθε γραμμή του οποίου τα άκρα είναι το ίδιο. Και ο αριθμός που σχηματίζεται από αυτό, μπορεί να έχει μια ποικιλία διαμορφώσεων. Πολύγωνο ονομάζεται απλή κλειστή polyline οποίων γειτονικών μονάδων δεν βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή. συνδέσεις και κόμβοι της είναι, αντίστοιχα, οι πλευρές και κορυφές του γεωμετρικού σχήματος. Μια απλή polyline δεν πρέπει να τέμνει τον εαυτό της.

Οι κορυφές του πολυγώνου που ονομάζεται γείτονες, σε περίπτωση που είναι τα άκρα μιας από τις πλευρές του. Ένα γεωμετρικό σχήμα, το οποίο έχει ένα n-th αριθμό των κορυφών, και ως εκ τούτου η n-th αριθμού των μερών που ονομάζεται n-γωνο. Ίδια διακεκομμένη γραμμή είναι το όριο ή το περίγραμμα του γεωμετρικού σχήματος. Πολυγωνικό επίπεδο ή επίπεδο πολύγωνο ονομάζεται το τελευταίο μέρος οποιουδήποτε επιπέδου, η περιορισμένη τους. Δίπλα πλευρές του γεωμετρικού σχήματος που ονομάζεται polyline τμήματα που προέρχονται από την ίδια κορυφή. Δεν θα είναι γείτονες εάν βασίζονται σε διαφορετικές κορυφές του πολυγώνου.

Άλλοι ορισμοί των κυρτών πολυγώνων

Στο δημοτικό γεωμετρία, υπάρχουν πολλές ισοδύναμες όσον αφορά τους ορισμούς έννοια, αναφέροντας αυτό που ονομάζεται ένα κυρτό πολύγωνο. Επιπλέον, όλες αυτές οι δηλώσεις είναι εξίσου αλήθεια. Ένα κυρτό πολύγωνο είναι αυτός που έχει:

• κάθε τμήμα που συνδέει δύο οποιαδήποτε σημεία μέσα σε αυτό, βρίσκεται εξ ολοκλήρου σε αυτό?

• εκεί βρίσκονται όλες διαγωνίων του?

• κάθε εσωτερική γωνία όχι μεγαλύτερη από 180 °.

Πολύγωνο χωρίζει πάντα το επίπεδο σε δύο μέρη. Ένας από αυτούς - η περιορισμένη (μπορεί να περικλείεται σε έναν κύκλο), και το άλλο - απεριόριστη. Η πρώτη ονομάζεται η εσωτερική περιοχή, και η δεύτερη - η εξωτερική περιοχή του γεωμετρικού σχήματος. Αυτή είναι η τομή του πολυγώνου (με άλλα λόγια - το συνολικό συστατικό) διάφορα ημιεπιπέδων. Έτσι, κάθε τμήμα έχει άκρα σε σημεία που ανήκουν σε ένα πολύγωνο ανήκει πλήρως σε αυτόν.

Ποικιλίες κυρτών πολυγώνων

Ορισμός κυρτό πολύγωνο δεν σημαίνει ότι υπάρχουν πολλά είδη τους. Και καθένα από αυτά έχει ορισμένα κριτήρια. Έτσι, τα κυρτά πολύγωνα, τα οποία έχουν μια εσωτερική γωνία 180 °, που αναφέρεται ελαφρώς κυρτή. Το κυρτό γεωμετρικό σχήμα που έχει τρεις κορυφές, ονομάζεται ένα τρίγωνο, τέσσερις - τετράπλευρο, πέντε - πενταγώνου, κλπ Κάθε της κυρτής n-gons πληροί τις ακόλουθες σημαντικές απαιτήσεις: .. N πρέπει να είναι ίση ή μεγαλύτερη από 3. Καθένα από τα τρίγωνα είναι κυρτή. Το γεωμετρικό σχήμα αυτού του τύπου στην οποία όλες οι κορυφές βρίσκονται σε ένα κύκλο, που ονομάζεται το χαραγμένο κύκλο. Περιγράφεται κυρτό πολύγωνο λέγεται, αν όλες οι πλευρές του γύρω από ένα κύκλο για να την αγγίξει. Δύο πολύγωνα που ονομάζεται ίση μόνο στην περίπτωση κατά τη χρήση η επικάλυψη μπορεί να συνδυαστούν. Flat πολύγωνο ονομάζεται πολυγωνικό επίπεδο (ένα τμήμα αεροπλάνο) ότι αυτή την περιορισμένη γεωμετρικό σχήμα.

Κανονικού κυρτού πολυγώνου

Η τακτική πολύγωνα που ονομάζεται γεωμετρικά σχήματα με ίσες γωνίες και τις πλευρές. Στο εσωτερικό τους υπάρχει ένα σημείο 0, η οποία είναι η ίδια απόσταση από κάθε κορυφή του. Καλείται το κέντρο της γεωμετρικό σχήμα. Γραμμές που συνδέουν το κέντρο με τις κορυφές του γεωμετρικού σχήματος που ονομάζεται απόστημα χορδής, και εκείνοι που συνδέουν το σημείο 0 με τα κόμματα - ακτίνες.

Σωστή ορθογώνιο - πλατεία. Ισόπλευρο τρίγωνο ονομάζεται ισόπλευρο. Για τέτοια σχήματα υπάρχει η ακόλουθος κανόνας: κάθε κυρτό γωνία πολύγωνο είναι 180 ° * (n-2) / n,

όπου n - αριθμός των κορυφών του κυρτού γεωμετρικού σχήματος.

Το εμβαδόν οποιουδήποτε κανονικού πολυγώνου προσδιορίζεται από τον τύπο:

S = p * h,

όπου το ρ είναι ίσο με το μισό του αθροίσματος όλων των πλευρών του πολυγώνου, και h είναι το μήκος απόστημα χορδής.

Ιδιότητες κυρτά πολύγωνα

Κυρτών πολυγώνων έχουν ορισμένες ιδιότητες. Έτσι, το τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε δύο σημεία ενός γεωμετρικού σχήματος, αναγκαστικά βρίσκεται σε αυτό. η απόδειξη:

Ας υποθέσουμε ότι το P - το κυρτό πολύγωνο. Πάρτε δύο αυθαίρετα σημεία, π.χ., Α και Β, οι οποίες ανήκουν στην P. Με τον τρέχοντα ορισμό ενός κυρτού πολυγώνου, τα σημεία αυτά ευρίσκονται σε μία πλευρά της ευθείας γραμμής που περιέχει οποιοδήποτε κατεύθυνση R. Κατά συνέπεια, ΑΒ έχει επίσης αυτή την ιδιότητα και περιέχεται στο R. Α κυρτό πολύγωνο πάντα μπορούν να χωριστούν σε διάφορες τρίγωνα απολύτως όλες οι διαγώνιοι, η οποία πραγματοποιήθηκε μία από τις κορυφές του.

Γωνίες κυρτά γεωμετρικά σχήματα

Οι γωνίες ενός κυρτού πολυγώνου - είναι οι γωνίες που σχηματίζονται από τα συμβαλλόμενα μέρη. Μέσα γωνίες είναι στο εσωτερικό χώρο του γεωμετρικού σχήματος. Η γωνία που σχηματίζεται από τις πλευρές της, οι οποίες συγκλίνουν σε μία κορυφή, που ονομάζεται τη γωνία του κυρτού πολυγώνου. Γωνίες παρακείμενα στις εσωτερικές γωνίες του γεωμετρικού σχήματος, που ονομάζεται εξωτερική. Κάθε γωνία ενός κυρτού πολυγώνου, διατεταγμένο μέσα σε αυτό, είναι:

180 ° - x

όπου x - αξίας εξωτερική γωνία. Αυτή η απλή φόρμουλα είναι εφαρμόσιμη σε οποιοδήποτε τύπο γεωμετρικών σχημάτων όπως.

Σε γενικές γραμμές, για εξωτερικές γωνίες υπάρχουν ακόλουθο κανόνα: κάθε κυρτό γωνία πολύγωνο ίσο με τη διαφορά μεταξύ 180 ° και της αξίας του εσωτερικού γωνίας. Μπορεί να έχουν τιμές που κυμαίνονται από -180 ° έως 180 °. Κατά συνέπεια, όταν το εσωτερικό γωνία είναι 120 °, η εμφάνιση θα έχει μια τιμή των 60 °.

Το άθροισμα των γωνιών των κυρτών πολυγώνων

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι εγκατεστημένος από τον τύπο:

180 ° * (n-2),

όπου n - αριθμός των κορυφών του n-γωνο.

Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου υπολογίζεται πολύ απλά. Εξετάστε κάθε τέτοια γεωμετρικό σχήμα. Για να προσδιορίσετε το άθροισμα των γωνιών σε ένα κυρτό πολύγωνο πρέπει να συνδέσετε μία από τις κορυφές της σε άλλες κορυφές. Ως αποτέλεσμα αυτής της δράσης τελικά (n-2) του τριγώνου. Είναι γνωστό ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι πάντα 180 °. Επειδή ο αριθμός τους σε κάθε πολύγωνο ισούται με (n-2), το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του σχήματος ισούται με 180 ° x (n-2).

Ποσό κυρτό γωνίες πολυγώνου, δηλαδή, οποιαδήποτε δύο γειτονικά εσωτερικές και εξωτερικές γωνίες σε αυτούς, σε αυτό το κυρτό γεωμετρικό σχήμα θα είναι πάντα ίσο με 180 °. Σε αυτή τη βάση, μπορούμε να καθορίσουμε το άθροισμα των όλες τις γωνιές του:

180 x n.

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι 180 ° * (n-2). Κατά συνέπεια, το άθροισμα όλων των εξωτερικές γωνίες του σχήματος καθορίζεται από τον τύπο:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Άθροισμα των εξωτερικών γωνιών του κάθε κυρτού πολυγώνου θα είναι πάντα ίσο με 360 ° (ανεξάρτητα από τον αριθμό των πλευρών της).

Έξω γωνία ενός κυρτού πολυγώνου αντιπροσωπεύονται γενικά από τη διαφορά μεταξύ 180 ° και της αξίας του εσωτερικού γωνίας.

Άλλες ιδιότητες ενός κυρτού πολυγώνου

Εκτός από τις βασικές ιδιότητες των στοιχείων γεωμετρικά σχήματα, μπορούν επίσης να έχουν και άλλες, οι οποίες συμβαίνουν κατά το χειρισμό τους. Έτσι, οποιοδήποτε από πολύγωνα μπορεί να χωριστεί σε πολλαπλές κυρτό n-gons. Για να το κάνετε αυτό, συνεχίζουν σε κάθε μία από τις πλευρές του και κόψτε το γεωμετρικό σχήμα κατά μήκος αυτών των ευθειών. Χωρίστε κάθε πολύγωνο σε πολλά κυρτά τμήματα είναι δυνατόν και έτσι ώστε η κορυφή του καθενός από τα κομμάτια συμπίπτουν με το σύνολο των κορυφών του. Από ένα γεωμετρικό σχήμα μπορεί να είναι πολύ απλό να κάνει τρίγωνα μέσω όλων των διαγωνίων από μία κορυφή. Έτσι, οποιοδήποτε πολύγωνο, τελικά, μπορεί να διαιρεθεί σε έναν ορισμένο αριθμό τριγώνων, το οποίο είναι πολύ χρήσιμο στην επίλυση των διαφόρων εργασιών που σχετίζονται με τέτοια γεωμετρικά σχήματα.

Η περίμετρος του κυρτού πολυγώνου

Τα τμήματα του polyline, πολύγωνο ονομάζεται κόμματα, συχνά υποδεικνύονται με τα ακόλουθα γράμματα: ab, bc, cd, ντε, εα. Αυτή η πλευρά του ένα γεωμετρικό σχήμα με κορυφές a, b, c, d, e. Το άθροισμα των μηκών των πλευρών ενός κυρτού πολυγώνου ονομάζεται περίμετρό του.

Η περιφέρεια του πολυγώνου

Κυρτό πολύγωνα μπορούν να εγγραφούν και να περιγραφεί. Κύκλος εφάπτεται σε όλες τις πλευρές του γεωμετρικού σχήματος, που ονομάζεται χαραγμένο σε αυτό. Αυτό το πολύγωνο ονομάζεται περιγράφεται. Το κέντρο κύκλου που είναι εγγεγραμμένο στο πολύγωνο είναι ένα σημείο τομής των διχοτόμων του γωνίες εντός μιας δεδομένης γεωμετρικό σχήμα. Το εμβαδόν του πολυγώνου είναι ίση με:

S = p * r,

όπου r - η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, και ρ - semiperimeter παρούσας πολύγωνο.

Ένας κύκλος που περιέχουν τις κορυφές του πολυγώνου, που ονομάζεται περιγράφεται κοντά σε αυτό. Επιπλέον, αυτή η κυρτή γεωμετρικό σχήμα που ονομάζεται χαραγμένο. Το κέντρο κύκλος, η οποία περιγράφεται σχετικά με ένα τέτοιο πολύγωνο είναι ένα λεγόμενο σημείο τομής midperpendiculars όλες τις πλευρές.

Διαγώνια κυρτά γεωμετρικά σχήματα

Οι διαγώνιες ενός κυρτού πολυγώνου - ένα τμήμα το οποίο δεν συνδέει γειτονικές κορυφές. Κάθε ένα από αυτά είναι μέσα σε αυτό το γεωμετρικό σχήμα. Ο αριθμός των διαγωνίων του Ν-gon έχει οριστεί σύμφωνα με τον τύπο:

N = n (n - 3) / 2.

Ο αριθμός των διαγωνίων ενός κυρτού πολυγώνου παίζει σημαντικό ρόλο στην στοιχειώδη γεωμετρία. Ο αριθμός των τριγώνων (Κ), η οποία μπορεί να σπάσει κάθε κυρτό πολύγωνο, που υπολογίζεται από τον ακόλουθο τύπο:

K = n - 2.

Ο αριθμός των διαγωνίων ενός κυρτού πολυγώνου είναι πάντα εξαρτάται από τον αριθμό των κορυφών.

Διαμέρισμα ενός κυρτού πολυγώνου

Σε ορισμένες περιπτώσεις, για να λύσει τα καθήκοντα γεωμετρία αναγκαία για να σπάσει ένα κυρτό πολύγωνο σε πολλά τρίγωνα με μη-τεμνόμενες διαγώνιους. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί αφαιρώντας ένα ορισμένο τύπο.

Καθορισμός του προβλήματος: αποκαλούν σωστό είδος του χωρίσματος ενός κυρτού n-γωνο σε αρκετές τρίγωνα από διαγωνίων που τέμνονται μόνο στις κορυφές ενός γεωμετρικού σχήματος.

Λύση: Ας υποθέσουμε ότι Ρ1, Ρ2, Ρ3, ..., Pn - η κορυφή του n-γωνο. Αριθμός Xn - ο αριθμός των κατατμήσεων του. Εξετάστε προσεκτικά το προκύπτον διαγώνια γεωμετρικό σχήμα Pi Ρη. Σε οποιαδήποτε από τις τακτικές χωρισμάτων Ρ1 Ρη ανήκει σε ένα συγκεκριμένο τρίγωνο Ρ1 Pi Pn, στην οποία 1

Έστω i = 2 είναι μια ομάδα της τακτικής χωρίσματα, περιέχουν πάντα διαγώνια Ρ2 Ρη. Ο αριθμός των χωρισμάτων που περιλαμβάνονται σε αυτό, ίσο με τον αριθμό των διαμερισμάτων (n-1) -gon Ρ2 Ρ3 Ρ4 ... Ρη. Με άλλα λόγια, είναι ίση με Xn-1.

Αν i = 3, τότε οι άλλες κατατμήσεις ομάδα θα περιέχει πάντα μια διαγώνια P3 Ρ1 και Ρ3 Ρη. Ο αριθμός των σωστών χωρίσματα που περιέχονται στην ομάδα, θα συμπέσει με τον αριθμό των διαμερισμάτων (n-2) -gon Ρ3, Ρ4 ... Ρη. Με άλλα λόγια, θα είναι Xn-2.

Έστω I = 4, τότε τα τρίγωνα μεταξύ των σωστό διαμέρισμα είναι βέβαιο ότι θα περιέχει ένα τρίγωνο Ρ1 Ρη Ρ4, η οποία θα συνορεύουν το τετράπλευρο P1 P2 P3 P4, (η-3) -gon P5 P4 ... Ρη. Ο αριθμός των σωστών χωρίσματα τέτοιων τετράπλευρο ισούται Χ4, και ο αριθμός των χωρισμάτων (n-3) -gon ισούται Xn-3. Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε να πούμε ότι ο συνολικός αριθμός των τακτικών διαμερίσματα που περιέχονται σε αυτή την ομάδα είναι ίση με Xn-3 Χ4. Άλλες ομάδες, στις οποίες ί = 4, 5, 6, 7 ... θα περιέχει 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... Χ7 τακτική χωρίσματα.

Έστω i = n-2, ο αριθμός των σωστών χωρίσματα σε μια δεδομένη ομάδα θα συμπέσει με τον αριθμό των διαμερισμάτων στην ομάδα, στην οποία i = 2 (με άλλα λόγια, ισούται Xn-1).

Δεδομένου ότι Χ1 = Χ2 = 0, X3 = 1 και Χ4 = 2, ..., ο αριθμός των χωρισμάτων των κυρτού πολυγώνου είναι:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3, Xn-Χ4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 Xn-Xn-X 4 + 3 + 2 Xn-Xn-1.

παράδειγμα:

X5 = Χ4 + Χ3 + Χ4 = 5

X6 = Χ4 + Χ5 + Χ4 + Χ5 = 14

X7 + Χ5 = Χ6 + Χ4 * Χ4 + X5 + X6 = 42

X7 = Χ8 + X6 + Χ4 * Χ5 + Χ4 * Χ5 + Χ6 Χ7 + = 132

Ο αριθμός των σωστών χωρίσματα διασταυρώνονται μέσα σε ένα διαγώνιο

Κατά τον έλεγχο μεμονωμένες περιπτώσεις, μπορεί να υποτεθεί ότι ο αριθμός των διαγωνίων των κυρτών n-gon είναι ίση με το γινόμενο όλων των χωρισμάτων του παρόντος μοτίβο γραφήματος (η-3).

Η απόδειξη αυτής της υπόθεσης: ας υποθέσουμε ότι P1N = Xn * (n-3), τότε κάθε κ-gon μπορεί να διαιρεθεί σε (n-2) είναι ένα τρίγωνο. Σε αυτή την περίπτωση ένα από αυτά μπορούν να στοιβάζονται (n-3) -chetyrehugolnik. Την ίδια στιγμή, κάθε τετράπλευρο είναι διαγώνιος. Από αυτό το κυρτό γεωμετρικό σχήμα δύο διαγωνίων μπορεί να διεξαχθεί, πράγμα που σημαίνει ότι σε οποιαδήποτε (n-3) -chetyrehugolnikah μπορεί να διενεργεί επιπλέον διαγώνια (n-3). Σε αυτή τη βάση, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι σε οποιαδήποτε κατάλληλη διαμέρισμα έχει την ευκαιρία να (n-3) -diagonali πληρούν τις απαιτήσεις του παρόντος έργου.

Περιοχή κυρτά πολύγωνα

Συχνά, στην επίλυση των διαφόρων προβλημάτων της στοιχειώδους γεωμετρίας είναι αναγκαίο να προσδιοριστεί η έκταση ενός κυρτού πολυγώνου. Ας υποθέσουμε ότι (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n αντιπροσωπεύει μία ακολουθία των συντεταγμένων όλων των γειτονικών κορυφών του πολυγώνου, που δεν έχει αυτο-διασταυρώσεις. Στην περίπτωση αυτή, περιοχή της υπολογίζεται από τον ακόλουθο τύπο:

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (Y _{i +} Y _i + _1)),

όπου το (Χ _1, Υ _{1) = (Χ ν +1, Y} n + _1).